平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/13 04:33:48
平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM
平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM
平行四边形ABCD,∠ A=45度,M是AB上一点,N在CB的延长线上,AD⊥BD,MN⊥DM,求证：AD+BN=√2BM
作MB⊥ME交BD的延长线于E
∵∠ A=45度,AD⊥BD
∴△ADB是等腰直角三角形
∴AD=BD,∠ABD=45°
∴△MBE是等腰直角三角形
∴BE=√2ME=√2BM,∠MEB=45°
∵MN⊥DM,MB⊥ME
∴MNBD共园
∴∠MND=∠ABD=45°
∴△MND是等腰直角三角形
∴MD=MN
∵∠ABN=∠A=45°=∠MED
∴△MED≌△MBN
∴DE=BN
∴AD+BN=BD+DE=BE=√2BM
如图 过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF 易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形。 所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD 在四边形MEBF中。已知三个角为直角，所以四个角均为直角。同时邻边相等。为正方形。 所以ME=MF。 在△NFM和△DEM中。...
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如图 过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF 易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形。 所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD 在四边形MEBF中。已知三个角为直角，所以四个角均为直角。同时邻边相等。为正方形。 所以ME=MF。 在△NFM和△DEM中。DE=MF ∠NMF+∠3＝∠DME+∠3＝90° ∠MFN=∠MED=90° ∴△NFM≌△DEM。 得NF=DE 又√2BM=2BE＝BE+BF=BE+BN+NF=BD+BN+DE=BD+BN=AD+BN得证。 如图 过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF 易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形。 所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD 在四边形MEBF中。已知三个角为直角，所以四个角均为直角。同时邻边相等。为正方形。 所以ME=MF。 在△NFM和△DEM中。DE=MF ∠NMF+∠3＝∠DME+∠3＝90° ∠MFN=∠MED=90° ∴△NFM≌△DEM。 得NF=DE 又√2BM=2BE＝BE+BF=BE+BN+NF=BD+BN+DE=BD+BN=AD+BN得证。 如图 过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF 易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形。 所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD 在四边形MEBF中。已知三个角为直角，所以四个角均为直角。同时邻边相等。为正方形。 所以ME=MF。 在△NFM和△DEM中。DE=MF ∠NMF+∠3＝∠DME+∠3＝90° ∠MFN=∠MED=90° ∴△NFM≌△DEM。 得NF=DE 又√2BM=2BE＝BE+BF=BE+BN+NF=BD+BN+DE=BD+BN=AD+BN得证。 如图 过M作ME⊥BD交BD于E.过M作MF⊥BN交BN延长线于F.连接EF 易知△BEM和△ADB均为等腰直角三角形。 所以BM=√2BE √2BM=2BE AD=BD 在四边形MEBF中。已知三个角为直角，所以四个角均为直角。同时邻边相等。为正方形。 所以ME=MF。 在△NFM和△DEM中。DE=MF ∠NMF+∠3＝∠DME+∠3＝90° ∠MFN=∠MED=90° ∴△NFM≌△DEM。 得NF=DE 又√2BM=2BE＝BE+BF=BE+BN+NF=BD+BN+DE=BD+BN=AD+BN得证。 还有另外一种解法：
∵∠ A=45度，AD⊥BD
∴△ADB是等腰直角三角形
∴AD=BD，∠ABD=45°
∴△MBE是等腰直角三角形
∴BE=√2ME=√2BM，∠MEB=45°
∵MN⊥DM，MB⊥ME
∴MNBD共园
∴∠MND=∠ABD=45°
∴△MND是等腰直角三角形
∴MD=MN
∵∠ABN=∠A=45°=∠MED
∴△MED≌△MBN
∴DE=BN
∴AD+BN=BD+DE=BE=√2BM作MB⊥ME交BD的延长线于E
∵∠ A=45度，AD⊥BD
∴△ADB是等腰直角三角形
∴AD=BD，∠ABD=45°
∴△MBE是等腰直角三角形
∴BE=√2ME=√2BM，∠MEB=45°
∵MN⊥DM，MB⊥ME
∴MNBD共园
∴∠MND=∠ABD=45°
∴△MND是等腰直角三角形
∴MD=MN
∵∠ABN=∠A=45°=∠MED
∴△MED≌△MBN
∴DE=BN
∴AD+BN=BD+DE=BE=√2BM
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