不大于200的自然数中有几个数有8个约数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:27:05
不大于200的自然数中有几个数有8个约数
不大于200的自然数中有几个数有8个约数
不大于200的自然数中有几个数有8个约数
知识：N=a1^k1*a2^k2*...则约数个数T=（k1+1)*(k2+1)*.
T=8=(1+1)(3+1)或者7+1
由此N=a*b^3或者c^7(a b c都是不同的质数）
①a*b^3.型.显然,b200.
a=2,b=3 ,N=54；;a=3,b=2,N=24；;a=5,b=2,N=5*8=40；a=5,b=3,N=5*27=135；a=7,b=2,N=7*8=56；a=7,b=3,N=7*27=189；a=11,b=2,N=11*8=88；a=11,b=3,N=11*27>200舍去；a=13,b=2,N=13*8=104；a=17,b=2,N=17*8=136；a=19,b=2,N=19*8=152；a=23,b=2,N=23*8=184；a=29,b=2,N=29*8>200舍去.
②c^7型.2^7=128.3^7>200舍去
综上,有54、24、40、135、56、189、88、104、136、152、184、128共12个
1 2 4 8四个
根据约数个数定理：
对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
则n的正约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1).
其中p1，p2，p3…pk都是n的质因数;a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3…pk的指数
不妨设1≤a1≤a2≤...≤ak
由于n有8个约数,所以有(a1+...
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根据约数个数定理：
对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
则n的正约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1).
其中p1，p2，p3…pk都是n的质因数;a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3…pk的指数
不妨设1≤a1≤a2≤...≤ak
由于n有8个约数,所以有(a1+1)(a2+1)...(ak+1)=8
解得a1=a2=a3=1或a1=1,a2=3
(1)a1=a2=a3=1时,n=p1*p2*p3,不妨设p1
∴p1<5
当p1=2时,p2*p3≤100,
p2=3,p3=5,7,11,13,17,19,23,29或31
p2=5,p3=7,11,13,17或19
p2=7,p3=11或13
共16种情况
当p1=3时,p2*p3≤66
p2=5,p3=7,11,13
共3种情况
综上, 当a1=a2=a3=1时,有16+3=19种情况
(2)a1=1,a2=3时,即n=p1*p2^3
a) p1
∴p1<3
p1=2,p2^3≤100,p2=3
即p1=2,p2=3
b) p1>p2
∵7*5^3>200
∴p2<5
当p2=2时,p1≤25,p1=3,5,7,11,13,17,19或23
当p2=3时,p1≤7,p1=5或7
综上,a1=1,a2=3时共有1+10=11种情况
所以有19+11=30个数有8个约数
收起
1 2 4 8 四个