数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证:a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个n+1为下标> n/2-1/3
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 14:23:34
数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证:a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个n+1为下标> n/2-1/3
数列不等式
已知an=2^n-1 前一个n为下标
求证:a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个n+1为下标
> n/2-1/3
数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证:a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个n+1为下标> n/2-1/3
用放缩法
由于an/a(n+1)=(2^n-1)/[2^(n+1)-1]=1/2-1/[2*[2^(n+1)-1]]
a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1)=n/2-[1/3+1/7+…+1/[2^(n+1)-1]]/2
欲证a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) > n/2-1/3
只需n/2-[1/3+1/7+…+1/[2^(n+1)-1]]/2> n/2-1/3
即1/3+1/7+…+1/[2^(n+1)-1]
an=2^n-1,所以a(n+1)=2an+1,
所以an/a(n+1)=[a(n+1)-1]/[2a(n+1)]=1/2-1/[2a(n+1)]
所以a1/a2+a2/a3+a3/a4+......+an/a(n+1)
=对i从1到n求和{1/2-1/[2a(i+1)]}
而上式中提出1/2,共有n个,为n/2
而后半部分为[1/a2+1/a3+1/a4+...
全部展开
an=2^n-1,所以a(n+1)=2an+1,
所以an/a(n+1)=[a(n+1)-1]/[2a(n+1)]=1/2-1/[2a(n+1)]
所以a1/a2+a2/a3+a3/a4+......+an/a(n+1)
=对i从1到n求和{1/2-1/[2a(i+1)]}
而上式中提出1/2,共有n个,为n/2
而后半部分为[1/a2+1/a3+1/a4+......+1/a(n+1)]/2
而1/a(n+1)=1/[2^(n+1)-1]小于等于1/[3*2^(n-1)]
而对1/[3*2^(i-1)],i从1到n求和,显然知道是等比数列求和,容易算出结果是2/3
所以得到解答写法如下:
a1/a2+a2/a3+a3/a4+......+an/a(n+1)
=对i从1到n求和{1/2-1/[2a(i+1)]}
=n/2-[1/a2+1/a3+1/a4+......+1/a(n+1)]/2
≥n/2-i从1到n求和{1/[3*2^(i-1)]}
=n/2-1/3 ,结论成立
其中对 i从1到n求和直接用∑来写,这里没办法输上下标,所以就写i从1到n求和,如果是作业自己把它改回来
祝学习进步
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