已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1,2),不过点A的直线l:x=my+n交抛物线C于P,Q两点,且向量AP*向量AQ=0.(Ⅰ)求证:n=2m+5;(Ⅱ)是否存在直线l,使得(向量AP+向量AQ)×向量PQ=0成立?若存在,这样的直线有几条?若不存
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 13:22:21
已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1,2),不过点A的直线l:x=my+n交抛物线C于P,Q两点,且向量AP*向量AQ=0.(Ⅰ)求证:n=2m+5;(Ⅱ)是否存在直线l,使得(向量AP+向量AQ)×向量PQ=0成立?若存在,这样的直线有几条?若不存
已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1,2),不过点A的直线l:x=my+n交抛物线C于P,Q两点,且向量AP*向量AQ=0.
(Ⅰ)求证:n=2m+5;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得(向量AP+向量AQ)×向量PQ=0成立?若存在,这样的直线有几条?若不存在,请说明理由.
已知抛物线C:y^2=2px(p>0)过点A(1,2),不过点A的直线l:x=my+n交抛物线C于P,Q两点,且向量AP*向量AQ=0.(Ⅰ)求证:n=2m+5;(Ⅱ)是否存在直线l,使得(向量AP+向量AQ)×向量PQ=0成立?若存在,这样的直线有几条?若不存
（1）将 A 坐标代入抛物线方程可得 p=1 ,因此抛物线方程为 y^2=4x .
与方程 x=my+n 联立可得 y^2-4my-4n=0 ,
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则 y1+y2=4m ,y1*y2= -4n ,
所以 x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m^2+2n ,
x1*x2=(my1+n)*(my2+n)=m^2*y1y2+mn(y1+y2)+n^2=n^2 ,
由已知得 AP*AQ=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4
=n^2-(4m^2+2n)+1-4n-8m+4=0 ,
化为 (n-3)^2=[2(m+1)]^2 ,
因此 n-3=2(m+1) 或 n-3= -2(m+1) ,
由于 A 不在直线 L 上,因此 2m+n ≠ 1 ,也就是 n-3 ≠ -2(m+1) ,
所以可得 n-3=2(m+1) ,即 n=2m+5 .
（2）设存在这样的直线,则 (AP+AQ)*PQ=(AP+AQ)*(AQ-AP)=0 ,
因此 AQ^2-AP^2=0 ,
也即 (x2-1)^2+(y2-2)^2=(x1-1)^2+(y1-2)^2 ,
化为 (x1+x2-2)(x2-x1)+(y1+y2-4)(y2-y1)=0 ,
由（1）得 x1+x2=4m^2+2n ,y1+y2=4m ,代入上式可解得
(y2-y1)/(x2-x1)= -(4m^2+2n-2)/(4m-4) ,
也就是直线斜率为 1/m= -(4m^2+2n-2)/(4m-4) ,
联立 n=2m+5 可解得 m= -1 ,n=3 ,
但此时直线过 A ,所以满足条件的直线不存在.