正方形ABCD中,F为DC中点,E为BC上一点,且EC=1/4BC,求证:∠EFA=90°别用相似证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 01:00:54
正方形ABCD中,F为DC中点,E为BC上一点,且EC=1/4BC,求证:∠EFA=90°别用相似证明
正方形ABCD中,F为DC中点,E为BC上一点,且EC=1/4BC,求证:∠EFA=90°
别用相似证明
正方形ABCD中,F为DC中点,E为BC上一点,且EC=1/4BC,求证:∠EFA=90°别用相似证明
找到BC边中点H,连接DH
因为EC=1/4BC,所以E为HC中点,
又因为F为DC中点,
所以边FE为△DHC的中位线,
所以EF平行于DH.
因为正方形ABCD,所以AD=DC,∠ADC=∠DCH=90°
又因为CH=DF,
所以△ADF全等于△DCH
所以∠DAF=∠CDH
又因为∠CDH+∠ADH=90°
所以∠DAF+∠ADH=90°
所以∠DHA=90°
又因为EF平行于DH
所以:∠EFA=90°
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作一条辅助线连接AE,
设AB=BC=CD=AD=X, 即EF=FC=1/2X, EC=1/4X.
因为正方形ABCD,
所以直角三角形ABF中, AB=X, BF=1/2X,
所以AF=根号5/2X.
直角三角形CEF中, EC=1/4X, FC=1/2X,
所以EF=跟号5/4X.
直角三角形ADE中, AD=X, DE=3/4X,
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作一条辅助线连接AE,
设AB=BC=CD=AD=X, 即EF=FC=1/2X, EC=1/4X.
因为正方形ABCD,
所以直角三角形ABF中, AB=X, BF=1/2X,
所以AF=根号5/2X.
直角三角形CEF中, EC=1/4X, FC=1/2X,
所以EF=跟号5/4X.
直角三角形ADE中, AD=X, DE=3/4X,
所以AE=5/4X.
在三角形AEF中, AF2 + FE2 =AE2
所以 ∠EFA=90°.
收起
因为四边形是正方形
所以∠c=90°
因为∠EFC+∠FEC=90°
因为EC/DF=FC/AD=1/4
所以三角形ADF相似三角形FCE[AS]
所以∠EFC=∠FAD.∠AFD=∠FEC
所以∠EFC+∠AFD=90°
所以∠AFE=∠DFC-90°
=90°
设正方形边长为a,
因为F是DC的中点,且EC=1/4BC,
则有DF/AD=1/2,EC/FC=1/2,又因为△EFC和△ADF都为直角三角形， 所以这两个三角形相似，故有，∠FEC=∠AFD，
又∵∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠EFC+∠AFD=90°
∴∠ADF=90°
证明完毕