用微积分求f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)的最大值和最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 02:58:50
用微积分求f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)的最大值和最小值
用微积分求f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)的最大值和最小值
用微积分求f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)的最大值和最小值
f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)
f'(x)=cosx/(cosx+2)+sinx(sinx+1)/(cosx+2)^2
=(cosx^2+2cosx+sinx^2+sinx)/(cosx+2)^2
=(1+2cosx+sinx)/(cosx+2)^2
1+2cosx+sinx=0时,f'(x)=0
1+sinx=-2cosx
1+2sinx+sinx^2=4cosx^2=4-4sinx^2
5sinx^2+2sinx-3=0
(5sinx-1)(sinx+1)=0
sinx=-1 或 sinx=1/5
cosx=0 cosx=-3/5
f(x)=0 f(x)=(6/5)/(2-3/5)=6/7
最大=6/7 最小=0
f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)
f‘(x)=cosx/(cosx+2)+sinx(sinx+1)/(cosx+2)²
=(cos²x+cosx+sin²x+sinx)/(cosx+2)²
=(sinx+cosx)/(cosx+2)²
要使函数取得极值，必须f’(x)=0
则：sinx+cosx=...
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f(x)=(sinx+1)/(cosx+2)
f‘(x)=cosx/(cosx+2)+sinx(sinx+1)/(cosx+2)²
=(cos²x+cosx+sin²x+sinx)/(cosx+2)²
=(sinx+cosx)/(cosx+2)²
要使函数取得极值，必须f’(x)=0
则：sinx+cosx=0
tanx=-1
则x=kπ-π/4；k∈Z
则：
k=奇数时；cosx=-√2/2；sinx=√2/2；f(x)=(2+√2)/(4-√2)，是最大值
k=偶数时，cosx=√2/2；sinx=-√2/2；f(x)=(2-√2)/(4+√2)，是最小值
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