求下述微分方程的一般解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:07:57
求下述微分方程的一般解求下述微分方程的一般解求下述微分方程的一般解设y''=p,则y''''=pdp/dy代入原方程得ypdp/dy-2p²-yp=0==>p(ydp/dy-2p-y)=0∴p=0
求下述微分方程的一般解
求下述微分方程的一般解
求下述微分方程的一般解
设y'=p,则y''=pdp/dy
代入原方程得ypdp/dy-2p²-yp=0
==>p(ydp/dy-2p-y)=0
∴p=0,或ydp/dy-2p-y=0
当p=0时,y'=0 ==>y=C (C是积分常数)
当ydp/dy-2p-y=0时,
∵由ydp/dy-2p=0 ==>dp/p=2dy/y
==>ln│p│=2ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)
==>p=Cy²
∴根据常数变易法,设ydp/dy-2p-y=0的解是p=C(y)y² (C(y)表示关于y的函数)
∵dp/dy=C'(y)y²+2yC(y)
代入方程得C'(y)=1/y² ==>C(y)=-1/y+C1 (C1是积分常数)
==>p=C1y²-y
∴ydp/dy-2p-y=0的通解是p=C1y²-y
==>y'=C1y²-y
==>dy/[y(C1y-1)]=dx
==>[C1/(C1y-1)-1/y]dy=dx
==>ln│C1y-1│-ln│y│=x+ln│C2│ (C2是积分常数)
==>y/(C1y-1)=C2e^x
==>y=C2(C1y-1)e^x
故原方程的通解是y=C或y=C2(C1y-1)e^x （C,C1,C2都是积分常数）.