关于等腰直角三角形与全等三角形的题

关于等腰直角三角形与全等三角形的题
关于等腰直角三角形与全等三角形的题

关于等腰直角三角形与全等三角形的题
1.三角形中边长关系的证明
如下图所示,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E为AB上任意一点,求证：CE=DE.

我们仔细观察图形与条件,想到通过证明两个三角形全等来说明两条线段相等,那么证明哪两个三角形全等呢?因为已知了AC=AD,AE是公共边,我们只需知道∠1＝∠2就可以了.由于已知条件中还有∠ACB=∠ADB=90°的条件,这样我们马上想到通过证明两个直角三角形全等来证明∠1＝∠2.
证明： 在Rt△ABC和Rt△ABD中,AB=AB,AC=AD,
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
∴ ∠1=∠2.
在△ACE和△ADE中,

∴ △ACE≌△ADE（SAS）.
∴ CE=DE.
如图所示,在△ABC中,延长AC边上的中线BE到G,使EG=BE,延长AB边上的中线CD到F,使DF=CD,连接AF、AG.

（1）按要求补全图形,并标注字母；
（2）AF与AG的大小关系如何?证明你的结论.
根据题意很容易画出图形.再由点D是AB、CF的中点,点E是BG、AC的中点,我们很容易判断△ADF≌△BDC,△AGE≌△CBE,这样我们就能看出AF与AG的关系是相等了.
（1）补全图形,如图所示.

（2）AF与AG的大小关系为：AF=AG.
证明：在△ADF和△BDC中,

∴ △ADF≌△BDC（SAS）,
∴ AF=BC. 同理可证：
△AGE≌△CBE（SAS）.
∴ AG=BC, ∴ AF=AG.
2.三角形中角度关系的证明
如图所示,已知AD平分∠BAC,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连接AF,求证：∠B=∠CAF.

由EF垂直平分AD我们能发现∠ADF＝∠FAD,而要证的结论中有∠CAF,∠CAF=∠DAF-∠DAC,想到这里结论就很容易证明了.
证明：∵ EF垂直平分AD,
∴ FA=FD,
∴ ∠FAD=∠ADF（等边对等角）.
∵ ∠B=∠ADF-∠BAD,∠CAF=∠FAD-∠DAC,∠BAD=∠DAC,
∴ ∠B=∠CAF.
如图所示,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证：AE‖BC.

要证AE‖BC,我们显然想到要找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角,通过观察,我们自然想到找∠EAC和∠ACB这对内错角相等.
证明：∵ △ABC和△EDC都是等边三角形,
∴ ∠ECD=∠ACB=60°.
∵ ∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ACE=∠BCD.
又∵ AC=BC,EC=DC,
∴ △ACE≌△BCD.
∴∠EAC=∠B=60°.
∴∠EAC=∠ACB.
∴ AE‖BC.
如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点,如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中,保持AN=BM,请你判 断△OMN的形状,并证明你的结论.

由于AN=BM,我们会自觉得想到证有关线段AN、BM、ON、OM的三角形具有全等关系,这样我们想到连接AO,△NAO≌△MBO就很容易得出.我们可以得出△OMN是等腰三角形.想到这一步我们要进一步考虑它是否是等边三角形或等腰直角三角形,由△NAO≌△MBO得出的角度关系不难发现∠NOM是直角.
△OMN为等腰直角三角形.理由如下：
∵ AB=AC,∠BAC=90°,
∴ ∠B=∠C=45°.
∵ O是BC的中点,
∴ ∠NAO=∠OAB=∠CAB=×90°= 45°,∠AOB=90°.
∴ ∠OAB=∠OBA .
∴ OA=OB.
在△NAO和△MBO中,

∴△NAO≌△MBO,
∴ ON=OM,∠1=∠2,
∵ ∠2+∠3=90°,
∴ ∠1+∠3=90°.即∠NOM =90°.
∴ △OMN为等腰直角三角形.

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.求证：BD=AE.
2．已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.
3．已知：E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求证：CF=DE。
4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=...

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如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.求证：BD=AE.
2．已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.
3．已知：E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求证：CF=DE。
4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。
1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB
4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。
求证：（1）AB＝CE；
5、已知：AB＝AC，BD＝CD
求证：（1）∠B＝∠C
（2）DE＝DF
6．已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。
7．已知：如图，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。
求证：△ADC≌△CBA
求证：（1）AB＝CE；
1　 在直角坐标系中,有两个点A(2,4) B(-2,-4), (即A.B两点是
关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别
连接A,A1和B,B1后,证AA1O和BB1O两三角行全等!
2有一个正方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?
3 一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?
4 在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,
求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?
5 有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形
的直角边长为3和4.求证两三角形全等. (注:SAS)
6 一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,
求两个等边三角形全等. (注:SAS或SSS)
7.已知平行四边形ABCD，连接点AC，求三角形ABC和三
角形CDA全等．
8　等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形？
9 在一个圆上，在圆内做两个三角形，圆心是公共的两个三角形
的端点，且这两个角度数都为30度，求两三角形全等．　（由
于圆半径相等，且两边夹角相等，所以SAS）
10 .已知：三角形中AB＝AC，
求证：（1）∠B＝∠C
11 三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)
12 三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等
(ASA)

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