设x,y,z为三个不全为零的实数,（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值为多少三元函数的导数为为零,可以得到三个正确的方程（对过答案）,请高人指点一种高数的一般解法.（注：拉格朗日乘数法可在竞
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:22:06
设x,y,z为三个不全为零的实数,（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值为多少三元函数的导数为为零,可以得到三个正确的方程（对过答案）,请高人指点一种高数的一般解法.（注：拉格朗日乘数法可在竞
设x,y,z为三个不全为零的实数,（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值为多少
三元函数的导数为为零,可以得到三个正确的方程（对过答案）,请高人指点一种高数的一般解法.（注：拉格朗日乘数法可在竞赛中应用广吗,请稍稍指点）.
设x,y,z为三个不全为零的实数,（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值为多少三元函数的导数为为零,可以得到三个正确的方程（对过答案）,请高人指点一种高数的一般解法.（注：拉格朗日乘数法可在竞
这题当然可以求导解方程,不过本身有很简单的做法,注意到
分子分母都是2次齐次的,故如果令g(x,y,z)是分子,r(x,y,z)是分母
f=g/r的值满足f(kx,ky,kz)=f(x,y,z),所以可以限定在r=1上来求最值.
这样相当于限制r(x,y,z)=1,求g(x,y,z)的最值,就可以开动拉格朗日
机器了.
更简单地,注意到r=1是单位球面S,要让g在S上取最值,必须g的梯度
grad(g)和S垂直.而grad(g) = ( gx,gy,gz) = (y,x+2z,2y)
S在(x,y,z)的法向量就是(x,y,z)
故上述条件相当于
y/x = (x+2z)/y = 2y/z = 待定常数k
这就是 y=kx,z=2x,k*k=5
从而得到 f = k/2 = 2分之根号5
注意这做法和拉格朗日方法其实是一致的.
1.你这个是求最值，不是极值
2.你这个是非条件的
所以不用拉格朗日乘数法
直接求出是偏导数为0的点，然后带入比较大小，就能求出来了。
补充:
F(x,y,z)=（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)
设r=x^2+y^2+z^2仅仅是为了书写方便
偏F/偏x=[yr-2x(xy+2yz)]/r^2
偏F/偏y=[(x+2z)...
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1.你这个是求最值，不是极值
2.你这个是非条件的
所以不用拉格朗日乘数法
直接求出是偏导数为0的点，然后带入比较大小，就能求出来了。
补充:
F(x,y,z)=（xy+2yz)/(x^2+y^2+z^2)
设r=x^2+y^2+z^2仅仅是为了书写方便
偏F/偏x=[yr-2x(xy+2yz)]/r^2
偏F/偏y=[(x+2z)r-2y(xy+2yz)]/r^2
偏F/偏z=[2yr-2z(xy+2yz)]/r^2
令上面三个是在都=0求出x，y，z因为r〉0只看分子
y(r-2x^2-4xz)=0……1
(x+2z)(r-2y^2)=0……2
2y(r-xz-2z^2)=0……3
1)若y=0则2变为(x+2z)(x^2+z^2)=0 则x+2z=0 原式=0
2)若y不等于0 分别由1，3得
y^2+z^2-x^2-4xz=0……4
x^2+y^2-z^2-xz=0……5
4-5得2z^2-3xz-2x^2=0
(z-2x)(2z+x)=0
z=2x……6
6带入4得
y^2=5x^2……7
6，7带入2可求得恒成立
则代回原式化简=5xy/10x^2=y/2x=根号5/2
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