过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 11:27:44
过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.
过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.
过椭圆x^2+y^2/2=1的焦点F作两条垂直的弦AB,CD,求四边形ACBD的最值.
a^2=2,b^2=1
a=√2,b=1,c=1
设F(0,1) .
注意:设F(0,-1)与F(0,1)的计算结果相同
一、AB⊥Y轴
直线AB：y=1代入2x^2+y^2=2 ,得
x=±√2/2
|AB|=√2
|CD|=2a=2√2
四边形ACBD面积的最大值S=|AB|*|CD|/2=√2*2√2/2=2
二、AB不⊥Y轴
AB:y=kx+1
x^2+y^2/2=1
2x^2+y^2=2
2x^2+(kx+1)^2=2
(2+k^2)x^2+2kx-1=0
xA+xB=-2k/(2+k^2),xA*xB=-1/(2+k^2)
(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=4k^2/(2+k^2)^2+4/(2+k^2)=8(1+k^2)/(2+k^2)^2
AB^2=(1+k^2)*(xA-xB)^2=(1+k^2)*8(1+k^2)/(2+k^2)^2=8(1+k^2)^2/(2+k^2)^2
|AB|=2√2*(1+k^2)/(2+k^2)
AB⊥CD
k(CD)=-1/k(AB)=-1/k
|CD|=2√2*(1+1/k^2)/(2+1/k^2)=2√2*(1+k^2)/(1+2k^2)
四边形ACBD=S=|AB|*|CD|/2=[2√2*(1+k^2)/(2+k^2)]*[2√2*(1+k^2)/(1+2k^2)]/2
=4(1+k^2)^2/[(1+2k^2)*(2+k^2)]
(4-2S)k^4+(8-5S)k^2+4-2S=0
未知数为k^2的上方程有实数解,则它的判别式△≥0,即
(8-5S)^2-4*(4-2S)*(4-2S)≥0
S*(9S-16)≥0
∵S>0
∴S≥16/9
四边形ACBD的最小值=16/9
答：四边形ACBD面积的最小值=16/9,最大值=2