怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 22:57:38
怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式杨氏不等式：对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等
怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
杨氏不等式：
对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q
Holder不等式证明如下：
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需证明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根据杨氏不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
这就完成了证明
顺便说明
等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即对任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件