怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 16:42:19
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怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
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怎样用杨氏不等式证明赫尔德不等式
杨氏不等式：
对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q
Holder不等式证明如下：
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需证明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根据杨氏不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
这就完成了证明
顺便说明
等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即对任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件