一道高二不等式其中n∈R＋.n≥2不知道此题是否有错误，= =。该朝哪个方向变形，
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 07:03:32
一道高二不等式其中n∈R＋.n≥2不知道此题是否有错误，= =。该朝哪个方向变形，
一道高二不等式
其中n∈R＋.n≥2
不知道此题是否有错误，= =。
该朝哪个方向变形，
一道高二不等式其中n∈R＋.n≥2不知道此题是否有错误，= =。该朝哪个方向变形，
【调和级数求和的尤拉公式：1+（1/2)+(1/3)+...+(1/n)=(㏑n)+γ.(其中,γ是一个常数,称尤拉常数,γ≈0.577）】证明：由“尤拉公式”可得：(1/n)+[1/(n+1)]+...+(1/n²)=[(㏑n²)+γ]-[㏑(n-1)+γ]=㏑[n²/(n-1)].(n≥2).∵n²=(n-1)²+2(n-1)+1.∴n²/(n-1)=2+(n-1)+[1/(n-1)]≥2+2=4.等号仅当n=2时取得.又㏑4＞㏑e=1.∴㏑[n²/(n-1)]＞1.即(1/n)+[1/(n+1)]+...+(1/n²)＞1.
可以用数学归纳法
当n=2时，有1/2+1/3+1/4>1
当n=3时，有1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9>1
假设n=k时，有1/k +1/(k+1)+....+1/k^2>1
现证明当n=k+1时，也成立
1/(k+1) +1/(k+2)+....+1/(k+1)^2=1/k +1/(k+1)+....+1/k^2+1/(k^2+...
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可以用数学归纳法
当n=2时，有1/2+1/3+1/4>1
当n=3时，有1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9>1
假设n=k时，有1/k +1/(k+1)+....+1/k^2>1
现证明当n=k+1时，也成立
1/(k+1) +1/(k+2)+....+1/(k+1)^2=1/k +1/(k+1)+....+1/k^2+1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+....+1/(k+1)^2-1/k
前半部分与假设的1/k +1/(k+1)+....+1/k^2相同
将后半部分1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+....+1/(k+1)^2-1/k单独讨论
1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+....+1/(k+1)^2中每一项均不小于最后一项，故有
1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+....+1/(k+1)^2>2k/(k+1)^2
所以1/(k^2+1)+1/(k^2+2)+....+1/(k+1)^2-1/k>2k/(k+1)^2-1/k=(k^2-2k-1)/k(k+1)^2
当k≥3时，有k^2-2k-1>0
所以1/(k+1) +1/(k+2)+....+1/(k+1)^2>1/k +1/(k+1)+....+1/k^2>1
即当n=k+1时也成立
所以，对任意n≥2（n为整数），有1/n +1/(n+1)+....+1/n^2>1
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什么题目？
假如你知道柯西不等式。。那么可以快捷证明：
(1/n+1/(n+1)+...+1/n^2)(n+n+1+n+2+...+n^2)
>=(1+1+...+1)^2=(n^2-n+1)^2
于是
1/n+1/(n+1)+...+1/n^2>=(n^2-n+1)^2/(n+n+1+n+2+...+n^2)
=2(n^2-n+1)/(n^2+n)=1+(n^2-3n...
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假如你知道柯西不等式。。那么可以快捷证明：
(1/n+1/(n+1)+...+1/n^2)(n+n+1+n+2+...+n^2)
>=(1+1+...+1)^2=(n^2-n+1)^2
于是
1/n+1/(n+1)+...+1/n^2>=(n^2-n+1)^2/(n+n+1+n+2+...+n^2)
=2(n^2-n+1)/(n^2+n)=1+(n^2-3n+2)/(n^2+n)
显然上面的等号不能取到。。而且当n=1或2，n^2-3n+2=0
当n>=3 ,n^2-3n+2=n(n-3)+2>=2
所以1+(n^2-3n+2)/(n^2+n)>=1
因此1/n+1/(n+1)+...+1/n^2>1
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