已知：如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB=75°,⊙O的半径为4,求弧BD的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 03:57:19
已知：如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB=75°,⊙O的半径为4,求弧BD的长．
已知：如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°,⊙O的半径为4,求弧BD的长．
已知：如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）如果∠ACB=75°,⊙O的半径为4,求弧BD的长．
①∵△DOC是等腰直角三角形（已知）,∠DCO＝45º；∠ACD＝45º（已知）；
∴∠ACO＝45º＋45º＝90º,故AC是⊙O的切线
（与园相交的直线垂直于过交点的半径则直线是园的切线）.
②∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝75º﹣45º＝30º,
弧BD所对圆心角＝2×30º（圆心角是同弧圆周角的两倍）＝60º；
∴BD弧长＝∏2×4÷360×60＝4∏／3≈4.1866.
1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
全部展开
1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
∵DO=BO，
∴△BDO为等边三角形，
∴BD=OB=4．
收起
（1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
全部展开
（1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
∵DO=BO，
∴△BDO为等边三角形，
∴BD=OB=4．
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