已知：如图,在△ABC中,AD是高,CE是AB边上的中线,且∠ABC=2∠BCE.求证：DC=BE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:38:51
已知：如图,在△ABC中,AD是高,CE是AB边上的中线,且∠ABC=2∠BCE.求证：DC=BE
已知：如图,在△ABC中,AD是高,CE是AB边上的中线,且∠ABC=2∠BCE.求证：DC=BE
已知：如图,在△ABC中,AD是高,CE是AB边上的中线,且∠ABC=2∠BCE.求证：DC=BE
∵∠CFD=∠ABC=2∠BCE,AD⊥BC
∴∠BCE=30°,∠ABC=60°
∴∠BAD=30°
∵∠EFA=∠DFC=60°
∴CE⊥BD
∵BE=ED
∴△ABC是等腰三角形
∵∠BCE=30°
∴△ABC是等边三角形
∴DC=1/2BC=1/2AB=BE
（1）证G是CE的中点，即GE=CG，可证它们所在的三角形全等，即连接DE，证△EDG≌△CDG；
（2）由（1）知：△CDE是等腰三角形，则BE=DE=CD，可得∠B=∠EDB=2∠BCE．
证明：（1）连接DE；
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边上的中线，即DE=BE=12AB；
∴DC=DE=BE；
又∵DG=DG，
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（1）证G是CE的中点，即GE=CG，可证它们所在的三角形全等，即连接DE，证△EDG≌△CDG；
（2）由（1）知：△CDE是等腰三角形，则BE=DE=CD，可得∠B=∠EDB=2∠BCE．
证明：（1）连接DE；
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边上的中线，即DE=BE=12AB；
∴DC=DE=BE；
又∵DG=DG，
∴Rt△EDG≌Rt△CDG；（HL）
∴GE=CG，
∴G是CE的中点．
（2）由（1）知：BE=DE=CD；
∴∠B=∠BDE，∠DEC=∠DCE；
∴∠B=∠BDE=2∠BCE．
收起
因为：∠ABC=2∠BCE，且CE是AB边上的中线
所以：CE是AB边上的中垂线
所以△ABC是等边三角形，等边三角形三线合一
所以DC=BE