在锐角三角形ABC中,abc分别为角内A,B,C的对边,且a,b,c,成等比数列,……cos Acos C＋cos B＝四分之三.（1）求角B的大小（2）若b＝2,求三角形ABC的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 17:13:41
在锐角三角形ABC中,abc分别为角内A,B,C的对边,且a,b,c,成等比数列,……cos Acos C＋cos B＝四分之三.（1）求角B的大小（2）若b＝2,求三角形ABC的面积.
在锐角三角形ABC中,abc分别为角内A,B,C的对边,且a,b,c,成等比数列,……
cos Acos C＋cos B＝四分之三.
（1）求角B的大小
（2）若b＝2,求三角形ABC的面积.
在锐角三角形ABC中,abc分别为角内A,B,C的对边,且a,b,c,成等比数列,……cos Acos C＋cos B＝四分之三.（1）求角B的大小（2）若b＝2,求三角形ABC的面积.
1.∵在△ABC中,A+C=π-B
∴cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB
∵由题意得：cosAcosC+cosB=3/4
∴cosAcosC-cos(A+C)=3/4
cosAcosC-(cosAcosC-sinAsinC)=3/4
∴ sinAsinc=3/4
∵a,b,c成等比数列
∴b²=ac
sin²B=sinAsinC
∴sin²B=3/4
∵0
由a,b,c成等比数列，可知b^2=ac
∴由正弦定理得： (SinB)^2=SinA*SinC
∵2 SinA*SinC=1
∴ SinB=根2/2
因为三角形是锐角三角形，∴B=45度
根据余弦定理可知：b^2=a^2+c^2-2accosB,
即b^2=(a+c)^2-2ac-2accosB,
因为b^2=ac，a+c=根号7，B=45...
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由a,b,c成等比数列，可知b^2=ac
∴由正弦定理得： (SinB)^2=SinA*SinC
∵2 SinA*SinC=1
∴ SinB=根2/2
因为三角形是锐角三角形，∴B=45度
根据余弦定理可知：b^2=a^2+c^2-2accosB,
即b^2=(a+c)^2-2ac-2accosB,
因为b^2=ac，a+c=根号7，B=45度
所以ac=7-2ac-根2*ac,
解得ac=7/(3+根2)
三角形面积=1/2*ac*sinB=(3*根2-2)/4.
收起
答：
（1）依据题意知道：b^2=ac
结合正弦定理知道：(sinB)^2=sinAsinC
cosAcosC+cosB=3/4
两式相减：
cosAcosC-sinAsinC+cosB=3/4-(sinB)^2=0
sinB=√3/2
因为三角形ABC是锐角三角形，所以B=60°
（2）b=2，ac=b^2=4
S=acsinB/2
=4*(√3/2)/2
=√3