现假设如下定理成立：在一个平面直角坐标系上,若一个圆经过n个有理点（有理点即横坐标,纵坐标均为有理数的点）,那么这个圆一定会经过无穷多个有理点.试求出n的最小值,使此定理成立帮

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摘nbsp;nbsp;要：介绍了椭圆曲线的基本知识、椭圆曲线上的密码体制及其在智能卡方面的应用.分析了安全椭圆曲线的几种构造方法,实现了特征2的有限域上安全椭圆曲线的构造.关键词：公钥密码算法；椭圆曲线；智能卡；Satoh算法中图分类号：TP309.7；TP399nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;文献标识码：Anbsp;amp;lt;o:pamp;gt;0nbsp;nbsp;引nbsp;nbsp;言人们根据密钥的特点,将密码系统分为私钥和公钥两大密码系统.在私钥密码系统中,解密密钥和加密密钥相同或者很容易从加密密钥导出,这一特点致使加密系统变得不安全.1976年Diffie和Hellman发表了著名的“密码学的新方向”一文〔1〕,提出公开密钥密码的思想,从此开始公钥密码的发展.在公钥密码体制中,解密密钥和加密密钥不同,从一个难于推出另一个,加密和解密是可分离的,通信双方事先无须交换密钥就可建立起保密通信.1978年由Rivest、Shamir和Adleman提出的RSA〔2〕方案及1984年提出的ELGamal〔3〕方案均属于公钥密码体制.RSA的安全性依赖于大整数分解因子问题的困难性,ELGamal的安全性则是建立在有限域上离散对数问题困难性基础上的.随着计算机网络的迅速发展,相互之间进行通信的用户数量的增多,RSA与ELGamal公钥密码体制的公钥位数较大（一般为512比特以上）的弱点逐渐暴露出来.1985年Koblitz〔4〕和Miller〔5〕分别独立地提出利用椭圆曲线上离散对数代替有限域上离散对数,可以构作公钥位数较小的ELGamal类公钥密码.nbsp;amp;lt;o:pamp;gt;1nbsp;nbsp;椭圆曲线定义1：设K=GF(q)（其中q=pd）为一有限域,K上椭圆曲线方程E为：y2=x3+ax+bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(p≥5,a,b∈K,4a3+27b2≠0)y2+xy=x3+ax+bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(p=2,a,b∈K)满足椭圆曲线方程E的所有点及一个称为无穷远点O〔6〕的点所构成的集合E(K)={(x,y)|(x,y)∈E,且x,y∈K}∪O为该曲线的K-有理点集合,它是一个有限集,元素个数称为该椭圆曲线E的阶,记#E(K).我们在该有限集上定义一个加法运算〔6〕,使得这些点对于该加法运算形成一个Abel群,群的单位元为无穷远点O.定理1(Hasse不等式)：设K=GF(q),nbsp;E/K为有限域上的椭圆曲线,有不等式|#E(K)-pd-1|≤2(pd)1/2成立.定义5：设E/K为椭圆曲线,点P为其上的点,最小的满足条件rP=O,正整数r称为点P的阶.根据有限域的知识,我们知道这样的r总是存在且整除椭圆曲线阶#E(K).整数k,l,满足条件kP=lP,当且仅当k=lmod(r).nbsp;amp;lt;o:pamp;gt;2nbsp;nbsp;椭圆曲线上的密码体制椭圆曲线上离散对数问题ECDLPnbsp;定义如下：给定素数p和椭圆曲线E,对Q＝kP,在已知P,Qnbsp;的情况下求出小于p的正整数k.可以证明由k和P计算Q比较容易,而由Q和P计算k则比较困难.ECDLP是比整数因子分解问题IFP和离散对数问题nbsp;DLP难得多的数学难题.基于该难题,Nealnbsp;Koblitz和Victornbsp;Miller〔4〕〔5〕在1985年分别提出了椭圆曲线密码系统（ECC）.ECC既可以用于数据加密,也可以用于数字签名.将椭圆曲线中的加法运算与离散对数中的模乘运算相对应,将椭圆曲线中的乘法运算与离散对数中的模幂运算相对应,我们就可以建立基于椭圆曲线的对应的密码体制.例如,对应Diffie-Hellman公钥系统,我们可以通过如下方式在椭圆曲线上予以实现：在E上选取生成元P,要求由P产生的群元素足够多,通信双方A和B分别选取a和b,a和bnbsp;予以保密,但将aP和bP公开,A和B间通信用的密钥为abP,这是第三者无法得知的.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;对应ELGamal密码系统可以采用如下的方式在椭圆曲线上予以实现:将明文m嵌入到E上Pm点,选一点B∈E,每一用户都选一整数a,0＜a＜N,N为阶数已知,anbsp;保密,aB公开.欲向A送m,可送去下面一对数偶：〔kB,Pm+k(aAB)〕,k是随机产生的整数.A可以从kB求得k(aAB).通过：Pm+k(aAB)-nbsp;k(aAB)=Pm恢复Pm.同样对应DSA我们可以在椭圆曲线上构造ECD 查看原帖>>