第一步和第二步的三角函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 14:01:52
第一步和第二步的三角函数
第一步和第二步的三角函数
第一步和第二步的三角函数
第一步
首先要明确∠PCF=∠PDF,也就是∠BCF=∠ADF. 根据圆周角定理——同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半.这两个角都是劣弧AB所对的圆周角,都等于∠AOB(O是圆心)的一半,所以是相等的.
然后根据正弦定理可以得到 sin∠DPF/sin∠PDF=DF/PF 同理可得sin∠PCF/sin∠CPF=PF/CF
最后DF/CF=AF/BF是根据三角形BFC和三角形AFD相似得到的,相似理由仍然是圆周角定理.
第二步
首先,虽然看起来不太像,但AE=BE,对于圆上任意两点切线的交点都可以得到这个结论.
在三角形PAE中运用正弦定理得sin∠APE/sin∠PAE=AE/PE
在三角形PBE中运用正弦定理得sin∠BPE/sin∠PBE=BE/PE
因为AE=BE 所以 sin∠APE/sin∠PAE=sin∠BPE/sin∠PBE
这个式子改换一下形式就是第二步第一个式子
其次我画了这样的一个图,要注意O点并不在EP线上,并且实际上此时我们不知道F点和EP线的关系.（不然就变成自己证自己了）
因为OB垂直于EB,所以sin∠PBE=sin∠(90°+∠PBO)=cos∠PBO⑴
由于三角形OBC是个等腰三角形所以 cos∠PBO=sin(0.5*∠BOC)
又由于圆心角是圆周角的一半,所以0.5*∠BOC=∠BAC 因此 cos∠PBO=sin(0.5*∠BOC)=sin∠BAC ⑵
⑴⑵式联立可得sin∠PBE=sin∠BAC
同理可得sin∠PAE=sin∠ABD
上下相除即可得第二步的第二式
第三式 根据圆周角定理易得∠BAC=∠BDC 同理可得∠ABD=∠ACD
则sin∠ABD/sin∠BAC=sin∠ACD/sin∠BDC⑶
根据正弦定理可得sin∠ACD/sin∠BDC=DF/CF⑷
再根据三角形ABF和三角形CDF相似可得DF/CF=AF/BF⑸
⑶⑷⑸式联立可得sin∠ABD/sin∠BAC=AF/BF
很好奇这是哪个年级的题?