望数学帝指教设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)求证f(x)>0 f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:10:37
望数学帝指教设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)求证f(x)>0 f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
望数学帝指教
设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)
求证f(x)>0 f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
望数学帝指教设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)求证f(x)>0 f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
令x1=x2=x/2
f(x)=f^2(x/2)≥0,又因为f(x)不等于0,所以f(x)>0
f(x1-x2)*f(x2)=f(x1-x2+x2)=f(x1)
所以f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
在f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)中令x1=x2=0,得:
f(0)=[f(0)]^2 ([f(0)]^2表示f(0)的平方)
∵?f(x)不等于0
∴f(0)=1,又f(x)是增函数
∴当x>0时,f(x)>f(0)>0
在f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)中令x1=x,x2=-x(设x<0),得:
f(x)×f(-x)=1
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在f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)中令x1=x2=0,得:
f(0)=[f(0)]^2 ([f(0)]^2表示f(0)的平方)
∵?f(x)不等于0
∴f(0)=1,又f(x)是增函数
∴当x>0时,f(x)>f(0)>0
在f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)中令x1=x,x2=-x(设x<0),得:
f(x)×f(-x)=1
∴f(x)=1/[f(-x)]
由-x>0得f(-x)>0
∴f(x)=1/[f(-x)]>0
即当 x<0时,f(x)>0也成立
综上所述,f(x)>0 对一切x属于R都成立
2.在f(x1+x2)=f(x1)×f(x2)中令x1=x1,x2=-x2,得:
f(x1-x2)=f(x1)×f(-x2)
由上一问f(x)×f(-x)=1可知:f(-x2)=1/[f(x2]
∴ f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
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