望数学帝指教设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）求证f（x）＞0 f（x1-x2）=f（x1）/f（x2）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 19:25:52
望数学帝指教设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）求证f（x）＞0 f（x1-x2）=f（x1）/f（x2）
望数学帝指教
设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）
求证f（x）＞0 f（x1-x2）=f（x1）/f（x2）
望数学帝指教设函数f(x)是定义域为R上的增函数 且f(x)不等于0,对于任意的x1 x2属于R,都有f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）求证f（x）＞0 f（x1-x2）=f（x1）/f（x2）
令x1=x2=x/2
f(x)=f^2(x/2)≥0,又因为f(x)不等于0,所以f(x)>0
f(x1-x2)*f(x2)=f(x1-x2+x2)=f(x1)
所以f(x1-x2）=f（x1）/f（x2）
在f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）中令x1=x2=0，得：
f(0)=[f(0)]^2 ([f(0)]^2表示f(0)的平方）
∵?f(x)不等于0
∴f(0)=1，又f(x)是增函数
∴当x>0时，f(x)>f(0)>0
在f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）中令x1=x,x2=-x（设x<0),得:
f(x)×f(-x)=1
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在f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）中令x1=x2=0，得：
f(0)=[f(0)]^2 ([f(0)]^2表示f(0)的平方）
∵?f(x)不等于0
∴f(0)=1，又f(x)是增函数
∴当x>0时，f(x)>f(0)>0
在f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）中令x1=x,x2=-x（设x<0),得:
f(x)×f(-x)=1
∴f(x)=1/[f(-x)]
由-x>0得f(-x)>0
∴f(x)=1/[f(-x)]>0
即当 x<0时，f(x)>0也成立
综上所述，f（x）＞0 对一切x属于R都成立
2.在f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）中令x1=x1，x2=-x2，得：
f（x1-x2）=f（x1）×f（-x2）
由上一问f(x)×f(-x)=1可知：f（-x2）=1/[f（x2]
∴ f（x1-x2）=f（x1）/f（x2）
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