已知函数f x=x2+a1对任意x1 x2属于R比较1/2[f(x1)+f(x2)与f(x1+x2/2)的大小2若x属于[-1,1],有|f(x)|≤1,求a的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 07:54:39
已知函数f x=x2+a1对任意x1 x2属于R比较1/2[f(x1)+f(x2)与f(x1+x2/2)的大小2若x属于[-1,1],有|f(x)|≤1,求a的范围
已知函数f x=x2+a
1对任意x1 x2属于R比较1/2[f(x1)+f(x2)与f(x1+x2/2)的大小
2若x属于[-1,1],有|f(x)|≤1,求a的范围
已知函数f x=x2+a1对任意x1 x2属于R比较1/2[f(x1)+f(x2)与f(x1+x2/2)的大小2若x属于[-1,1],有|f(x)|≤1,求a的范围
(1)
f(x1)=x1^2+a f(x2)=x2^2+a
f(x1)+f(x2)=x1^2+x2^2+2a
f((x1+x2)/2)=((x1+x2)/2)^2+a
1/2[f(x1)+f(x2)]-f((x1+x2)/2)=1/2(x1^2+x2^2)+a-a-((x1+x2)/2)^2
=1/2(x1^2+x2^2)-((x1+x2)/2)^2
=1/2(x1^2+x2^2-1/2(x^2+x^2+x1x2))
=1/4(x1^2+x2^2-2x1x2)
=1/4(x1-x2)^2>=0
所以1/2[f(x1)+f(x2)]>=f((x1+x2)/2)
(2)
lf(x)l=-1 且1+a
1 [f(x1)+f(x2)]/2-f((x1+x2)/2)
=(x1^2+x2^2)/2-(x1+x2)^2/4
=(x1-x2)^2/4
>=0
所以1/2[f(x1)+f(x2)]>=f(x1+x2)/2)
2 x∈[-1,1]时
f(x)min=f(0)=a
f(x)max=f(1)=f(-1)=1+a
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1 [f(x1)+f(x2)]/2-f((x1+x2)/2)
=(x1^2+x2^2)/2-(x1+x2)^2/4
=(x1-x2)^2/4
>=0
所以1/2[f(x1)+f(x2)]>=f(x1+x2)/2)
2 x∈[-1,1]时
f(x)min=f(0)=a
f(x)max=f(1)=f(-1)=1+a
那么|f(x)|max必然在|f(x)max|与|f(x)min|
之间取，要使得|f(x)|≤1
，只要使
|a+1|<=1,,|a|<=1
解得-1<=a<=0
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