∫1/(9x^2-4)^(1/2)dx不定积分九X平方减四的差开方分之DX
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 02:10:32
∫1/(9x^2-4)^(1/2)dx不定积分九X平方减四的差开方分之DX
∫1/(9x^2-4)^(1/2)dx
不定积分九X平方减四的差开方分之DX
∫1/(9x^2-4)^(1/2)dx不定积分九X平方减四的差开方分之DX
积分:dx/根号(x^2-a^2)(a>0)
令x=asect,0
=积分:sectdt
=ln|sect+tant|+C
=ln|x/a+根号(x^2-a^2)/a|+C
=ln|x+根号(x^2-a^2|+C
∫1/(9x^2-4)^(1/2)dx
=积分:1/((3x)^2-2^2)dx
=1/3积分:1/(3x)^2-2^2)d3x
=1/3ln|3x+根号(9x^2-4|+C
x=(2/3)seca
9x^2-4=4(seca)^2-4=4(tana)^2
dx=(2/3)seca*tanada
a=arcsec(3x/2)
所以原式=∫[(2/3)seca*tana/4(tana)^2]da
=(1/6)∫(seca/tana)da
=(1/6)∫[(1/cosa)/(sina/cosa)]sa
=(...
全部展开
x=(2/3)seca
9x^2-4=4(seca)^2-4=4(tana)^2
dx=(2/3)seca*tanada
a=arcsec(3x/2)
所以原式=∫[(2/3)seca*tana/4(tana)^2]da
=(1/6)∫(seca/tana)da
=(1/6)∫[(1/cosa)/(sina/cosa)]sa
=(1/6)∫(1/sina)da
=(1/6)∫1/[2sin(a/2)cos(a/2)]da
=(1/6)∫[sec(a/2)/sin(a/2)]d(a/2)
=(1/6)∫[sec^2(a/2)/sin(a/2)sec(a/2)]d(a/2)
因为sin(a/2)sec(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2)=tan(a/2)
所以=(1/6)∫[1/tan(a/2)]dtan(a/2)
=(1/6)*ln|tan(a/2)|+C
=(1/6)*ln|tan[arcsec(3x/2)]|+C
收起
公式：∫1/√(x^2-a^2)dx＝ln|x＋√(x^2-a^2)|＋C
∫1/√(9x^2-4)dx＝1/3×∫1/√(x^2-4/9)dx＝1/3×ln|x＋√(x^2-4/9)|＋C1＝1/3×ln|3x＋√(9x^2-4)|－1/3×ln3＋C1
＝1/3×ln|3x＋√(9x^2-4)|＋C
其中C＝C1－1/3×ln3