△ABC内接于圆O,其中AB为直径,且AB=2,∠ABC=30°,点P是弧AB上一个动点,P与C在AB的异侧,过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q.（1）当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长；（2）当点P运动到弧AB的中点时,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:23:26
△ABC内接于圆O,其中AB为直径,且AB=2,∠ABC=30°,点P是弧AB上一个动点,P与C在AB的异侧,过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q.（1）当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长；（2）当点P运动到弧AB的中点时,
△ABC内接于圆O,其中AB为直径,且AB=2,∠ABC=30°,点P是弧AB上一个动点,P与C在AB的异侧,过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q.
（1）当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长；
（2）当点P运动到弧AB的中点时,求此时CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?并求出此时CQ的长.
（图2、3供作图备用）
△ABC内接于圆O,其中AB为直径,且AB=2,∠ABC=30°,点P是弧AB上一个动点,P与C在AB的异侧,过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q.（1）当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长；（2）当点P运动到弧AB的中点时,
△ABC ∽ △PQC （∵ 圆内 ∴ ∠A = ∠P,又∵∠ACB = ∠PCQ = 90°）
∴CQ = √3 * CP
（1）当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长；
CQ = √3 * CP = √3 * BC = √3 * √3 * AB / 2 = 3
（2）当点P运动到弧AB的中点时,求此时CQ的长；
∵ CO = 半径长 = AB / 2 = 1
∴ C 与 O 的横向距离为 1/2,纵向距离为 √3/2
又∵P 与 O 的横向距离为 0,纵向距离为半径长 1
∴ C 与 P 的横向距离为 1/2,纵向距离为 1 + √3/2
∴根据勾股定理：
CP = √[1/2 * 1/2 + (1 + √3/2) * (1 + √3/2)]
= √(2 + √3)
CQ = √3 * CP
= √3 * √(2 + √3)
= √(6 + 3√3)
（3）当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?并求出此时CQ的长
∵CQ = √3 * CP
∴CP 最大时 CQ 最大
CP 最大值为 2 （直径）
所以 CQ 最大值为 2 * √3
3
√(6 + 3√3)
2 * √3
△ABC ∽ △PQC （∵ 圆内 ∴ ∠A = ∠P， 又∵∠ACB = ∠PCQ = 90°）
∴CQ = √3 * CP
（1）
CQ = √3 * CP = √3 * BC = √3 * √3 * AB / 2 = 3
（2）
∵ CO = 半径长 = AB / 2 = 1
∴ C 与 O 的横向距离为 1/2， 纵向距离为 √3/2
全部展开
△ABC ∽ △PQC （∵ 圆内 ∴ ∠A = ∠P， 又∵∠ACB = ∠PCQ = 90°）
∴CQ = √3 * CP
（1）
CQ = √3 * CP = √3 * BC = √3 * √3 * AB / 2 = 3
（2）
∵ CO = 半径长 = AB / 2 = 1
∴ C 与 O 的横向距离为 1/2， 纵向距离为 √3/2
又∵P 与 O 的横向距离为 0，纵向距离为半径长 1
∴ C 与 P 的横向距离为 1/2， 纵向距离为 1 + √3/2
∴根据勾股定理：
CP = √[1/2 * 1/2 + (1 + √3/2) * (1 + √3/2)]
= √(2 + √3)
CQ = √3 * CP
= √3 * √(2 + √3)
= √(6 + 3√3)
（3）
∵CQ = √3 * CP
∴CP 最大时 CQ 最大
CP 最大值为 2 （直径）
所以 CQ 最大值为 2 * √3
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