已知平面A1B1C1平行与V-ABC的底面ABC,等边三角形AB1C所在平面与底面ABC垂直,且角ACB=90度,设AC=2a,BC=a.（1）求证：直线B1是异面直线AB1与A1C1的公垂线（请用空间向量知识解题）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:00:01
已知平面A1B1C1平行与V-ABC的底面ABC,等边三角形AB1C所在平面与底面ABC垂直,且角ACB=90度,设AC=2a,BC=a.（1）求证：直线B1是异面直线AB1与A1C1的公垂线（请用空间向量知识解题）
已知平面A1B1C1平行与V-ABC的底面ABC,等边三角形AB1C所在平面与底面ABC垂直,且角ACB=90度,设AC=2a,BC=a.
（1）求证：直线B1是异面直线AB1与A1C1的公垂线（请用空间向量知识解题）
已知平面A1B1C1平行与V-ABC的底面ABC,等边三角形AB1C所在平面与底面ABC垂直,且角ACB=90度,设AC=2a,BC=a.（1）求证：直线B1是异面直线AB1与A1C1的公垂线（请用空间向量知识解题）
(1)取AC中点D,连B1D,
△AB1C是等边三角形,
∴B1D⊥AC,
平面AB1C⊥平面ABC于AC,
∴B1D⊥平面ABC,
∠ACB=90°,
∴AB1⊥BC,
平面A1B1C1∥平面ABC,
∴B1C1∥BC,∠A1C1B1=∠ACB=90°,
∴AB1⊥B1C1,
∴B1C1是AB1与A1C1的公垂线.
(2)解法1 （等积法）BC=CD=a,BD=√2a,B1C=AC=2a,B1D=√3a,BB1=√5a,
∴BC^2+CB1^2=BB1^2,
∴∠BCB1=90°,
∴S△BCB1=a^2=S△ABC,
设点A到平面PBC的距离为h,由V(B1-ABC)=V(A-BCB1),得
(1/3)S△ABC*B1D=(1/3)S△BCB1*h,
∴h=B1D=√3a.
解法2 （定义法）平面AB1C⊥平面ABC于AC,∠ACB=90°,
∴BC⊥平面AB1C,
∴平面PBC⊥平面AB1C于B1C.
作AE⊥B1C于E,则AE⊥平面PBC,
△AB1C是等边三角形,AC=2a,
∴AE=√3a,
∴点A到平面PBC的距离为√3a.