长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C、C1D与底面所成角为60°与45°,则异面直线B1C与C1D所成角的余弦值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 16:42:27
长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C、C1D与底面所成角为60°与45°,则异面直线B1C与C1D所成角的余弦值为
长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C、C1D与底面所成角为60°与45°,则异面直线B1C与C1D所成角的余弦值为
长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C、C1D与底面所成角为60°与45°,则异面直线B1C与C1D所成角的余弦值为
解析：
连结A1D.A1C1
因为A1B1//CD且A1B1=CD,所以：
四边形A1B1CD是平行四边形
那么：A1D//B1C
所以∠A1DC1就是异面直线B1C与C1D所成角
设BB1=CC1=a
由于BB1⊥底面ABCD,CC1⊥底面ABCD,所以：
∠BCB1就是B1C与底面ABCD所成角,
∠CDC1就是C1D与底面ABCD所成角
即有：∠BCB1=60°,∠CDC1=45°
在Rt△BCB1中,B1C=BB1/sin60°=2(根号3)a/3,BC=BB1/tan60°=(根号3)a/3
在Rt△CDC1中,C1D=CC1/sin45°=(根号2)a,CD=CC1=a
那么：在Rt△A1B1C1中,A1B1=CD=a,B1C1=BC=(根号3)a/3
由勾股定理可得：A1C1=根号(A1B1²+B1C1²)=2(根号3)a/3
在△A1C1D中,A1D=B1C=2(根号3)a/3
由余弦定理有：
cos∠A1DC1=(A1D²+C1D²-A1C1²)/(2*A1D*C1D)
=[(4a²/3) +2a²-(4a²/3)]/[2*2(根号3)a/3 *(根号2)a]
=2a²/[4(根号6)a²/3]
=(根号6)/4
即异面直线B1C与C1D所成角的余弦值为(根号6)/4
B1C与地面所成角为60°即A1D与地面所成角为60°
三角形A1C1D中，角DA1C1为60°，角A1C1D为45°，则角A1DC1为75°
即异面直线B1C与C1D所成角为75°
余弦值为（根号6-根号2）/4