如图,正方形ABCD的边长为a,E是CD边上的一个动点,以CE为一条直角边在正方形ABCD外作等腰直角三角形CEF,连结BF,FD,BD (1)求证：BD平行CF；（2）小明认为：△BDF的面积不会随着点E的运动而发生变化,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 05:27:41
如图,正方形ABCD的边长为a,E是CD边上的一个动点,以CE为一条直角边在正方形ABCD外作等腰直角三角形CEF,连结BF,FD,BD (1)求证：BD平行CF；（2）小明认为：△BDF的面积不会随着点E的运动而发生变化,
如图,正方形ABCD的边长为a,E是CD边上的一个动点,以CE为一条直角边在正方形ABCD外作等腰直角三角形CEF,连结BF,FD,BD
(1)求证：BD平行CF；
（2）小明认为：△BDF的面积不会随着点E的运动而发生变化,是一个定值.你认为小明的看法正确吗?如果正确,请你求出这个定值,如果认为不正确,请说明理由
如图,正方形ABCD的边长为a,E是CD边上的一个动点,以CE为一条直角边在正方形ABCD外作等腰直角三角形CEF,连结BF,FD,BD (1)求证：BD平行CF；（2）小明认为：△BDF的面积不会随着点E的运动而发生变化,
三角形BCD与三角形CFE都是腰直角三角形
所以角BDC=角ECF=45度,
所以BD平行CF
△BDF的面积=△BDC+△DEF+△CEF-△BCF
设EF=b则有△BDF的面积=1/2*a*a+1/2*（a-b）*b+1/2*b*b-1/2*a*b
=1/2*a*a为值
(1)由BD是正方形ABCD对角线，∠ECF=45°，
得：∠BDC=∠DCF=45°，
∴BD‖CF。
（2）设正方形ABCD边长AB=a，直角△CEF直角边CE=EF=b，
过F作FP⊥交BC延长线于P，
由CD‖FP，
∴BC/BP=CQ/FP(Q是BF与CD交点），
a/（a+b）=CQ/b，
CQ=ab/（a+b），DQ=a...
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(1)由BD是正方形ABCD对角线，∠ECF=45°，
得：∠BDC=∠DCF=45°，
∴BD‖CF。
（2）设正方形ABCD边长AB=a，直角△CEF直角边CE=EF=b，
过F作FP⊥交BC延长线于P，
由CD‖FP，
∴BC/BP=CQ/FP(Q是BF与CD交点），
a/（a+b）=CQ/b，
CQ=ab/（a+b），DQ=a-ab/(a+b)=a²/(a+b),
三角形BDF面积等于三角形BDQ+三角形FDQ面积。
∴S△BDF=1/2·DQ×AD+1/2·DQ×EF
=1/2×a²/(a+b)×(a+b)
=a²/2.为定值，与E的位置无关。
所以小明的看法正确。
Ss△BCQ=S△DQF=1/2·a²b/（a+b）=a²b/2（a+b）。
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（1）三角形BCD与三角形CFE都是等腰直角三角形
所以角BDC=角ECF=45度，
内错角相等，两直线平行
所以BD平行CF
（2） △BDF的面积不会随着点E的运动而发生变化，是一个定值。
证明：因为CE=EF，
△CBF面积=1/2*BC*CE=1/2*a*CE
△CDF面积=1/2*DC*EF=1/2*a*CE
所以，△CBF...
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（1）三角形BCD与三角形CFE都是等腰直角三角形
所以角BDC=角ECF=45度，
内错角相等，两直线平行
所以BD平行CF
（2） △BDF的面积不会随着点E的运动而发生变化，是一个定值。
证明：因为CE=EF，
△CBF面积=1/2*BC*CE=1/2*a*CE
△CDF面积=1/2*DC*EF=1/2*a*CE
所以，△CBF面积=△CDF面积
设BF与DC相交的交点为G，
则，
△CBF面积= △BCG面积+△FCG面积
△CDF面积= △DGF面积+△FCG面积
所以：△BCG面积=△DGF面积
那么：△BDF的面积=△BDG面积+△DGF面积=△BDG面积+△BCG面积
而△BDG面积+△BCG面积=1/2正方形面积=（1/2）*a*a
质而言之，无论点E在CD上的任何一点，△BDF的面积都等于正方形面积的一半。
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