如图1,三角形ABC中,角ACB=30度,BC=6,AC=5,在三角形ABC那边有一点P,连接PA PB PC,求PA+PB+PC的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 22:02:22
如图1,三角形ABC中,角ACB=30度,BC=6,AC=5,在三角形ABC那边有一点P,连接PA PB PC,求PA+PB+PC的最小值
如图1,三角形ABC中,角ACB=30度,BC=6,AC=5,在三角形ABC那边有一点P,连接PA PB PC,求PA+PB+PC的最小值
如图1,三角形ABC中,角ACB=30度,BC=6,AC=5,在三角形ABC那边有一点P,连接PA PB PC,求PA+PB+PC的最小值
c^2=a^2+b^2-2abcosC=36+25-30√3=9.04
所以c=3.0066
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=6.013
可得sinA=0.998,sinB=0.832
所以三个内角均小于90°
根据费马点的确定：数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点.它是这样确定的：如果三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点.
设PA=x,PB=y,PC=z
（x+y+z）^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz
S△ABC=1/2absinC=7.5
S△PAB=1/2xysin120°=1/4xy
S△PAC=1/4xz
S△PBC=1/4yz
S△ABC=△PAB+ S△PAC+ S△PBC
即1/4xy+1/4xz+1/4yz=7.5
xy+xz+yz=30
又x^2+y^2-2xycos120°=c^2=9.04,即x^2+y^2+xy=9.04
同理,x^2+z^2+xz=25
y^2+z^2+yz=36
所以（x^2+y^2+xy）+( x^2+z^2+xz)+( y^2+z^2+yz)=70.04
即2(x^2+y^2+z^2)+(xy+xz+yz)=70.04
2(x^2+y^2+z^2)+30=70.04
解得x^2+y^2+z^2=20.02
所以（x+y+z）^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=20.02+60=80.02
x+y+z=8.95
即PA+PB+PC的最小值为8.95