定积分存在性的两道题① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0.书上说该函数是有界函数所以在闭区间[-2,2]存在定积分,可是仔细想想当x->0时sin(1/x)虽然有界但在这个无限趋于零的过程中你
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:31:03
定积分存在性的两道题① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0.书上说该函数是有界函数所以在闭区间[-2,2]存在定积分,可是仔细想想当x->0时sin(1/x)虽然有界但在这个无限趋于零的过程中你
定积分存在性的两道题
① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0.书上说该函数是有界函数所以在闭区间[-2,2]存在定积分,可是仔细想想当x->0时sin(1/x)虽然有界但在这个无限趋于零的过程中你并不能真正确定这个值,既然没有一个定值何来定积分呢?
② 对分段函数f(x)=d[xsin(1/x)]/dx,x≠0；f(x)=0,x=0.书上说由于f(x),x≠0是发散的,所以不存在定积分,可是我觉得F(x)=xsin(1/x)在x->0时的极限为0那么在求定积分的时候F(2)-F(0)是存在的呗?
定积分存在性的两道题① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0.书上说该函数是有界函数所以在闭区间[-2,2]存在定积分,可是仔细想想当x->0时sin(1/x)虽然有界但在这个无限趋于零的过程中你
定积分存在性的两个结论：
f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
f(x)在[a,b]上连续(或有界且只有有限个间断点),则f(x)在[a,b]上可积.
第一题满足结论2,f(x)在[-2,2]上有界|f(x)|≤1,只有一个间断点0,所以f(x)在[-2,2]上可积.
第二题满足结论1的逆否命题：无界则不可积.x≠0时,f(x)=sin(1/x)-1/x*cos(1/x),在0点附近无界.
这个两个可积的问题都不是通过用公式计算定积分来判断的,而是用定积分的定义,或者说用极限的基本理论.如果你不是数学系的,只要掌握几个结论并会使用即可.
你说的这两个问题实质是一样的。
只是这两个积分无法用我们平时的积分方法来求得积分值。但积分的公式是成立的。