塞瓦定理是什么

塞瓦定理是什么
塞瓦定理是什么

塞瓦定理是什么
塞瓦定理
　　在△ABC内任取一点O,
　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　证法简介
　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截,
　　∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
　　而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
　　同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,
　　根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.
　　可用塞瓦定理证明的其他定理;
　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D ,E分别为BC ,AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
　　且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ,所以三角形三条中线交于一点,即为重心 用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点
　　此外,可用定比分点来定义塞瓦定理：
　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB.于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1.（注意与梅涅劳斯定理相区分,那里是λμν=-1）
编辑本段塞瓦定理推论
　　1.塞瓦定理角元形式
　　AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
　　(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
　　由正弦定理及三角形面积公式易证
　　2.如图,对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
　　(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证.
编辑本段数学意义
　　使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用.塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理.

塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用 梅涅劳斯定理 证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ ( CB /BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)...

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塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用 梅涅劳斯定理 证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ ( CB /BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明 三角形三 条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理 逆定理 ，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点（ 重心 ）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ，所以三角形三条中线交于一点，即为重心 用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的 充要条件 是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
塞瓦定理推论
1.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的 充分必要条件 是：
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
由正弦定理及 三角形面积公式 易证
2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：
(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对 圆周角 关系易证。

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