1+1/2+1/3+1/4+.1/n怎么算拜托了各位
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:05:29
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学过高等数学的人都知道,调和级数S=1 1/2 1/3 ……是发散的,证明如下： 由于ln(1 1/n)ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) … ln(1 1/n) =ln2 ln(3/2) ln(4/3) … ln[(n 1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n 1)/n]=ln(n 1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n 1)（n→∞）= ∞ 所以Sn的极限不存在,调和级数发散. 但极限S=lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为 Sn=1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) … ln(1 1/n)-ln(n) =ln(n 1)-ln(n)=ln(1 1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1 1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n 1)=1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)-[1 1/2 1/3 … 1/(n 1)-ln(n 1)] =ln(n 1)-ln(n)-1/(n 1)=ln(1 1/n)-1/(n 1)>ln(1 1/n)-1/n>0 所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此 S=lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)]（n→∞）存在. 于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n 1) 1/(n 2) … 1/(n n)]（n→∞）,可以这样做： lim[1/(n 1) 1/(n 2) … 1/(n n)]（n→∞）=lim[1 1/2 1/3 … 1/(n n)-ln(n n)]（n→∞）-lim[1 1/2 1/3 … 1/n-ln(n)]（n→∞） lim[ln(n n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ ln2=ln2