高一关于圆和直线的数学题已知直线x+2y-3=0与圆x平方+y平方+x-6y+F=0交于P、Q两点,O为原点.问F为何值时,OP垂直于OQ?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 01:25:36
高一关于圆和直线的数学题已知直线x+2y-3=0与圆x平方+y平方+x-6y+F=0交于P、Q两点,O为原点.问F为何值时,OP垂直于OQ?
高一关于圆和直线的数学题
已知直线x+2y-3=0与圆x平方+y平方+x-6y+F=0交于P、Q两点,O为原点.问F为何值时,OP垂直于OQ?
高一关于圆和直线的数学题已知直线x+2y-3=0与圆x平方+y平方+x-6y+F=0交于P、Q两点,O为原点.问F为何值时,OP垂直于OQ?
这个题目很容易,解题思路是这样的,首先你看,既然OP和OQ垂直,那么它们两条直线的斜率相乘就等于-1,又因为O是坐标系原点,那假设P,Q的左边分别为(Xp,Yp)和(Xq,Yq).那么它们两条直线的斜率就是纵坐标除以横坐标,也就是说它们相乘的和为0,即Xp*Xq+Yp*Yq=0.把直线方程带入这个式子里,就得到了一个关于Xp和Xq的方程,再把直线方程带入圆的解析式里,就得到了一个关于X的二元一次方程,且Xp和Xq为这个方程的两个根,根据韦达定理,就得到了一个关于F的一元一次方程,解出来就可以了.
由圆x平方+y平方+x-6y+F=0,可得圆心(负2分之1,3)、半径r=根号(37-4F)除以2
过圆心作PQ的垂线,垂足为A。由点到直线距离公式可得OA=2分之根号5
OQ=r,勾股定理可得AQ=根号(8-4F),所以PQ=2AQ=2乘以根号(8-4F)
因为OP垂直OQ,OP=OQ,所以由勾股定理可得r:PQ=1:根号2
所以代数算得F=4分之27
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由圆x平方+y平方+x-6y+F=0,可得圆心(负2分之1,3)、半径r=根号(37-4F)除以2
过圆心作PQ的垂线,垂足为A。由点到直线距离公式可得OA=2分之根号5
OQ=r,勾股定理可得AQ=根号(8-4F),所以PQ=2AQ=2乘以根号(8-4F)
因为OP垂直OQ,OP=OQ,所以由勾股定理可得r:PQ=1:根号2
所以代数算得F=4分之27
(呼,终于打完了……不知道有没有计算错误,但基本思路应该是对的)
收起
x=-2y+3代入圆方程化成关于y的一元二次方程, 根据韦达定理得 y1+y2=?,y1*y2=?,进一步得x1*x2=?,OP垂直于OQ,OP斜率为y1:x1,OQ斜率为y2:x2,OP斜率乘OQ斜率=-1,即x1*x2+y1*y2=0,解之得F=?.完毕.Game is over.
这个太简单了.找个会的人问,比在这里问好
把点都表示出来 然后把线段表示出来 最后由两线段垂直得一关于F的方程 解之即得答案