数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3...),且a1,a2a3成公比不为1的等比数列(1)求c的值(2)求{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:34:16
数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3...),且a1,a2a3成公比不为1的等比数列(1)求c的值(2)求{an}的通项公式
数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3...),且a1,a2a3成公比不为1的等比数列
(1)求c的值(2)求{an}的通项公式
数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3...),且a1,a2a3成公比不为1的等比数列(1)求c的值(2)求{an}的通项公式
1
a1=2,a2= a1+c=2+c,a3=a2+2c=2+c+2c=2+3c.
因a1,a2,a3成公比不为1的等比数列,所以a2^2=a1*a3,
即(2+c)^2=2*(2+3c).
整理得:c^2-2c=0,c(c-2)=0.
所以c=0或c=2.
因公比不为1,舍去c=0,于是有c=2.
2
an+1=an+2n
an+1-an=2n
a2-a1=2*1
a3-a2=2*2
…
an-an-1=2*(n-1)
左右两边分别相加:
左边=an-a1
右边=2*(1+2+..+n-1)
=n*(n-1)
所以an-a1=n*(n-1)
an= n*(n-1)+2
a1=2也满足an
所以an= n*(n-1)+2
A(n+1)=An+c*n
A2=A1+c
A3=A2+2c
所以
A2=2+c
A3=A1+3c=2+3c
又因为A1,A2,A3成等比
所以
2*(2+3c)=(2+c)^2
c=0或者c=2
当c=0时,显然公比为1,舍去
所以
c=2
此时A(n+1)=An+2n
所以用错位相减...
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A(n+1)=An+c*n
A2=A1+c
A3=A2+2c
所以
A2=2+c
A3=A1+3c=2+3c
又因为A1,A2,A3成等比
所以
2*(2+3c)=(2+c)^2
c=0或者c=2
当c=0时,显然公比为1,舍去
所以
c=2
此时A(n+1)=An+2n
所以用错位相减法
A1=2
A2=2+1*2
A3=A2+2*2=2+1*2+2*2
以此类推
所以
An=2+1*2+2*2+3*2+……(n-1)*2
An=2+n(n-1)*2/2
所以
An=n*n-n+2
收起