求证a^2+b^2+c^2+d^2>=ab+bc+cd+da 是求证不等式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 13:18:47
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求证a^2+b^2+c^2+d^2>=ab+bc+cd+da 是求证不等式
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求证a^2+b^2+c^2+d^2>=ab+bc+cd+da 是求证不等式
证:
2(a²+b²+c²+d²)-2(ab+bc+cd+da)
=a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2cd+d²+d²-2da+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²+(d-a)²
平方项恒非负,(a-b)²+(b-c)²+(c-d)²+(d-a)²≥0,当且仅当a=b=c=d时取等号.
2(a²+b²+c²+d²)≥2(ab+bc+cd+ca)
a²+b²+c²+d²≥ab+bc+cd+ca
不等式成立.

(a-b)^2+(a-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2``大于或等于零······移项除以2····

不等式两边同时乘以2,移项变成a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+d^2-2cd+d^2+a^2-2ad=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2>=0
即原不等式成立