求证 极限 lim [(b1+b2+.bn)/(a1+a2+...an)] = L条件(I) 通项an>0 且a1+a2+...an = 正无穷条件(II) lim (bn/an) = L注意 bn或者an中的n均为下标 且n从1开始提示 :Stolz定理 或者 考虑Toeplitz 数表?回答者:benkyoshi - 大
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 21:55:59
求证 极限 lim [(b1+b2+.bn)/(a1+a2+...an)] = L条件(I) 通项an>0 且a1+a2+...an = 正无穷条件(II) lim (bn/an) = L注意 bn或者an中的n均为下标 且n从1开始提示 :Stolz定理 或者 考虑Toeplitz 数表?回答者:benkyoshi - 大
求证 极限 lim [(b1+b2+.bn)/(a1+a2+...an)] = L
条件(I) 通项an>0 且a1+a2+...an = 正无穷
条件(II) lim (bn/an) = L
注意 bn或者an中的n均为下标 且n从1开始
提示 :Stolz定理 或者 考虑Toeplitz 数表?
回答者:benkyoshi - 大魔法师 九级 12-26 04:58
虽然您的解答十分精彩,但是不好意思,有比您更早时间的回答,另外,采用了我的提示.十分抱歉,我只能将分数送给第一楼的朋友,
求证 极限 lim [(b1+b2+.bn)/(a1+a2+...an)] = L条件(I) 通项an>0 且a1+a2+...an = 正无穷条件(II) lim (bn/an) = L注意 bn或者an中的n均为下标 且n从1开始提示 :Stolz定理 或者 考虑Toeplitz 数表?回答者:benkyoshi - 大
设
An = a1+a2+……an
Bn = b1+b2+……+bn
由于an>0
An单调上升,且
limAn = +∞;
lim(bn/an) = lim((Bn - Bn-1)/(An - An-1) = L
由Stolz定理:limAn/Bn = L
即所要求的结果
令bn/an-L=cn,则只要证lim [(c1a1+c2a2+....cnan)/(a1+a2+...an)]=0
考虑用定义来证。任取e>0,则只要证明存在N,使得只要n>N,就有
|(c1a1+c2a2+....cnan)/(a1+a2+...an)|
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令bn/an-L=cn,则只要证lim [(c1a1+c2a2+....cnan)/(a1+a2+...an)]=0
考虑用定义来证。任取e>0,则只要证明存在N,使得只要n>N,就有
|(c1a1+c2a2+....cnan)/(a1+a2+...an)|
首先由于lim|cn|=0,所以存在N1,使得只要n>N1,就有|cn|
因为lim(a(N1+1)+a(N1+2)+...an)=正无穷,所以存在N,使得只要n>N就有
a(N1+1)+a(N1+2)+...an>-2C/e
于是对于这些n,就有
(e-|c1|)a1+(e-|c2|)a2+...+(e-|cn|)an>C+[a(N1+1)+a(N1+2)+...an]*e/2>0
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