张乃一 天津大学线性代数第五章课后习题19题 答案谁有答案,谢谢!A为实对称矩阵,n维列向量a1,a2,...an是A对应特征值r1,r2...rn的标准正交特征向量,试证明A=r1a1(a1)T+r2a2(a2)T+.rnan(an)T
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:00:18
张乃一 天津大学线性代数第五章课后习题19题 答案谁有答案,谢谢!A为实对称矩阵,n维列向量a1,a2,...an是A对应特征值r1,r2...rn的标准正交特征向量,试证明A=r1a1(a1)T+r2a2(a2)T+.rnan(an)T
张乃一 天津大学线性代数第五章课后习题19题 答案
谁有答案,谢谢!
A为实对称矩阵,n维列向量a1,a2,...an是A对应特征值r1,r2...rn的标准正交特征向量,试证明A=r1a1(a1)T+r2a2(a2)T+.rnan(an)T
张乃一 天津大学线性代数第五章课后习题19题 答案谁有答案,谢谢!A为实对称矩阵,n维列向量a1,a2,...an是A对应特征值r1,r2...rn的标准正交特征向量,试证明A=r1a1(a1)T+r2a2(a2)T+.rnan(an)T
P=(a1,a2,...an),P逆为P转置(后面用T 代替)
所以PTAP=diag(r1,r2...rn)(对角化)
故A=Pdiag(r1,r2...rn)PT
利用矩阵乘法得A=r1a1(a1)T+r2a2(a2)T+.rnan(an)T
n维列向量a1,a2,...an是A对应特征值r1,r2...rn的特征向量
可知
Aa1=r1a1
Aa2=r2a2
令P=(a1,a2,...an),
∧=dia(r1,r2...rn)(为对角阵，对角元素为r1,r2...rn)
则有
AP=P∧
即A=P∧P^(-1)
n维列向量a1,a2,...an的标准正交特征向量...
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n维列向量a1,a2,...an是A对应特征值r1,r2...rn的特征向量
可知
Aa1=r1a1
Aa2=r2a2
令P=(a1,a2,...an),
∧=dia(r1,r2...rn)(为对角阵，对角元素为r1,r2...rn)
则有
AP=P∧
即A=P∧P^(-1)
n维列向量a1,a2,...an的标准正交特征向量
则必有 (T表示转置）
aiT*ai=1
aiT*aj=0
即任意一个向量的转置乘以自己本身向量为1
任意一个向量的转置乘以另一个向量为0
则有PT*P=E
则PT=P^(-1)
代入A=P∧P^(-1)中，即
A=P∧P^T
即A=（r1,r2...rn)∧（r1,r2...rn)T
=r1a1(a1)T+r2a2(a2)T+......rnan(an)T
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