如图,在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于点P．则下列结论中正确的有：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 20:45:11
如图,在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于点P．则下列结论中正确的有：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面
如图,在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于点P．则下列结论中正确的有：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
（3）BE+BF= 20A；
（4）AE2+CF2=20P•OB
要求解释出每一条结论（写出过程）
如图,在正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于点P．则下列结论中正确的有：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面
(1)错的
△ABC≌△ADC,△AOB≌△COD,△AOE≌△BOF,△BOE≌△COF
(2)正确
∵△AOE≌△BOF
∴四边形BEOF的面积=△ABO的面积=1/4正方形ABCD的面积
(3)错误
BE+BF=AB=√2OA
(4)正确
AE²+CF²=BF²+BE²=EF²=2OF²
∵△OPF∽△OEB
∴OF²=OP*OB
∴AE²+CF²=2OP*OB
(1)错 (2)对 (3)错 (4)对AE²+CF²=BE²+BF²=EF²=（√2OE）²=2OE² ∵∠EBO=∠OEP ∠EOB=∠EOB ∴△EBO∽△PEO ∴OE／OP=OB／OE ∴OE²=OP×OB ∴AE²+CF²=2OP×OB
（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COD，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积=△ABO的面积=14正方形ABCD的面积；
（3）正确．BE+BF=AB=2OA；
（4）正确．AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=（PF+PE）2=PE2+PF2+2PE•PF．
作OM⊥EF，M为...
全部展开
（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COD，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积=△ABO的面积=14正方形ABCD的面积；
（3）正确．BE+BF=AB=2OA；
（4）正确．AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=（PF+PE）2=PE2+PF2+2PE•PF．
作OM⊥EF，M为垂足．
∵OE=OF，∴OM=ME=MF．
PE2+PF2=（ME-MP）2+（MF+MP）2=2（MO2+MP2）=2OP2．
∵O、E、B、F四点共圆，∴PE•PF=OP•PB，
∴AE2+CF2=2OP2+2OP•PB=2OP（OP+PB）=2OP•OB．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．
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