如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则三角形AMN的周长为?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/22 13:46:23

如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则三角形AMN的周长为?如图,三角

如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则三角形AMN的周长为?
如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则三角形AMN的周长为?

如图,三角形ABC是边长为3的等边三角形,三角形BDC是等腰三角形,且角BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则三角形AMN的周长为?
延长AC至P点,使得CP=BM,
△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°
BD=CD ∠DBC=∠DCB=30°
△ABC等边三角形
∠ABC=∠ACB=60°所以 ∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°
同理∠NCD=90°
所以 ∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°
所以 △BDM≌△CDP
所以 MD=PD
∠MDB=∠PDC
因为 ∠MDN=60°
所以 ∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°即 ∠MDN=∠PDN=60°
所以 △NMD≌△NPD（SAS）所以 MN=PN=NC+CP=NC+BM所以 △AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=3+3=6
△AMN的周长为6