已知数列a(n+1)=3a(n)+2且a(1)=2,求a(n)通项公式注意：用构造新数列解答,能约去的不可约去要保留
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:37:12
已知数列a(n+1)=3a(n)+2且a(1)=2,求a(n)通项公式注意：用构造新数列解答,能约去的不可约去要保留
已知数列a(n+1)=3a(n)+2且a(1)=2,求a(n)通项公式
注意：用构造新数列解答,能约去的不可约去要保留
已知数列a(n+1)=3a(n)+2且a(1)=2,求a(n)通项公式注意：用构造新数列解答,能约去的不可约去要保留
原式两边各+1,即a(n+1)+1=3(a(n)+1)
令bn=an+1,则bn是比为3的等比数列,b1=3
∴bn=3^n
∴an=3^n-1
a(n+1)+1=3a(n)+3=3[a(n)+1]
[a(n+1)+1]/[a(n)+1]=3
.....
[a(2)+1]/[a(1)+1]=3
两边相乘
[a(n+1)+1]/[a(1)+1]=3^n
a(n+1)+1=3^(n+1)
a(n)=3^n-1
a(n+1)+1=3a(n)+3＝3(a(n)+1)
b(n)=a(n)+1
b(n+1)=3b(n) b(1)=3
b(n)=3^n
a(n)=3^n-1
∵a(n+1)=3an+2……①
∴an=3a(n-1)+2……②
①-②式得：a(n+1)-an=3an-3a(n-1)
即a(n+1)-an=3[an-a(n-1)]
∴[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=3
设bn=a(n+1)-an
则bn/b(n+1)=3
又∵a2=3a1+2=8
即b1=a2-a1=6
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∵a(n+1)=3an+2……①
∴an=3a(n-1)+2……②
①-②式得：a(n+1)-an=3an-3a(n-1)
即a(n+1)-an=3[an-a(n-1)]
∴[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=3
设bn=a(n+1)-an
则bn/b(n+1)=3
又∵a2=3a1+2=8
即b1=a2-a1=6
∴数列{bn}是以6为首项，3为公比的等比数列
则bn=b1*q^(n-1)=6*3^(n-1)=2*3^n
∴b1=a2-a1=2*3
b2=a3-a2=2*3^2
b3=a4-a3=2*3^3
…… ……
bn=a(n+1)-an=2*3^n
将所有式子两边相加得：
(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+……+[a(n+1)-an]=2*3+2*3^2+2*3^3+……+2*3^n
即：a(n+1)=2*(3+3^2+3^3+……+3^n)
=2*[3*(1-3^n)/(1-3)]
=2*[3*(1-3^n)/-2]
=-3*(1-3^n)
=3^(n+1)-3
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