帮我解答一道高三圆锥曲线——抛物线的问题!已知抛物线方程为y^2=2px（p大于0）,过该抛物线焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点,过点A、B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线并分别交其于
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 02:34:24
帮我解答一道高三圆锥曲线——抛物线的问题!已知抛物线方程为y^2=2px（p大于0）,过该抛物线焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点,过点A、B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线并分别交其于
帮我解答一道高三圆锥曲线——抛物线的问题!
已知抛物线方程为y^2=2px（p大于0）,过该抛物线焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点,过点A、B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线并分别交其于M、N两点,若三角形MNF的面积为8倍根号5,则p的值为?
A.2倍根号二 B.4倍根号二 C.4 D.8
帮我解答一道高三圆锥曲线——抛物线的问题!已知抛物线方程为y^2=2px（p大于0）,过该抛物线焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点,过点A、B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线并分别交其于
1) C
抛物线方程为y^2=2px (p>0),则准线方程x=-p/2,焦点F(p/2,0)
直线AB斜率为2,所以设AB：y=2x+b
AB过F,所以0=2*p/2+b,解得b=-p,所以直线AB：y=2x-p
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立AB和抛物线解析式,得(2x-p)^2=2px,即4x^2-6px+p^2=0
由韦达定理,有x1+x2=6p/4=3p/2
即AM、BN分别交y轴于D、E,则AD=x1,BE=x2,所以AD+BE=3p/2
而由于MN的方程为x=-p/2,所以DM=EN=p/2
则AM+BN=AD+BE+DM+EN=3p/2+p/2+p/2=5p/2
抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离,所以AB=AF+BF=AM+BN=5p/2
不妨设A在B的上方,过A作AQ∥y轴,使BQ∥x轴,则有AQ^2+BQ^2=AB^2
且AQ=y1-y2,BQ=x1-x2,由于AB斜率为2,所以AQ/BQ=(y1-y2)/(x1-x2)=2,即BQ=AQ/2
则AQ=2AB/√5=2*5p/2/√5=√5p,即y1-y2=√5p,则MN=y1-y2=√5p
即MN交x轴于H,则H(-p/2,0),由F(p/2,0)得HF=p/2-(-p/2)=p
则S△MNF=MN*HF/2=√5p*p/2=8√5,解得p=±4
由于p>0,取p=4,选C
2) -8
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则向量OP=(x1,y1),向量OQ(x2,y2)
向量OP（点乘）向量OQ=x1x2+y1y2,x1x2+y1y2即为所求
由Ax+By+C=0得y=(-Ax-C)/B,代入圆⊙方程得
x^2+((Ax+C)/B)^2=0,即(A^2+B^2)x^2+2ACx+C^2-16B^2=0
由韦达定理,x1x2=(C^2-16B^2)/(A^2+B^2)
同样地,由Ax+By+C=0得y=(-By-C)/A,代入圆⊙方程
y^2+((By+C)/A)^2=0,即(A^2+B^2)y^2+2BCy+C^2-16A^2=0
由韦达定理,y1y2=(C^2-16A^2)/(A^2+B^2)
所以x1x2+y1y2=(C^2-16B^2)/(A^2+B^2)+(C^2-16A^2)/(A^2+B^2)=2C^2/(A^2+B^2)-16
由于C^2=4(A^2+B^2),所以x1x2+y1y2=2*4-16=-8
即向量OP（点乘）向量OQ=-8