在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,证明与否定:(cosA)^5+(cosB)^5+(cosC)^5≥3/32.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 07:17:04
在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,证明与否定:(cosA)^5+(cosB)^5+(cosC)^5≥3/32.
在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,证明与否定:
(cosA)^5+(cosB)^5+(cosC)^5≥3/32.
在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,证明与否定:(cosA)^5+(cosB)^5+(cosC)^5≥3/32.
成立且可推广.下面给出一个初等方法给出推广
在任意ΔABC中,A,B,C表示其内角,n∈N,n>1,则
(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)≥3/2^(2n+1).(1)
首先给出两个引理:
引理1 己知x≥0,y≥0,对任意正整数n总有
x^n+(n-1)y^n≥nx*y^(n-1) (2)
(2)式等价于,此时y>0
x^n/y^(n-1)≥nx-(n-1)y (3)
引理2 在任意ΔABC中,有
(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3≥3/8.(4)
cosA+cosB+cosC)=1+r/R.(5)
下面根据引理中不等式(3),(4),(5)来推导不等式(1).
证明 当ΔABC为锐角三角形时
(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)
=(1/4)^(n-1)*{cosA*[(cosA)^2]^n/(1/4)^(n-1)+cosB*[(cosB)^2]^n/(1/4)^(n-1)+cosC*[(cosC)^2]^n/(1/4)^(n-1)}
≥(1/4)^(n-1)*{cosA*[n(cosA)^2-(n-1)/4]+cosB*[n(cosB)^2-(n-1)/4]+cosC[n(cosC)^2-(n-1)/4]}
=(1/4)^(n-1)*{n[(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3]-(n-1)*(cosA+cosB+cosC)/4}
≥(1/4)^(n-1)*[3n/8-(n-1)*(1+r/R)/4]
≥(1/4)^(n-1)*[3n/8-3(n-1)/8].用到欧拉不等式 .
=3/[8*(1/4)^(n-1)]=3/2^(2n+1)
当ΔABC为非锐角三角形时,不妨设C≥π/2,B≥A,则
π/4≥A>0,π>B+C>π/2.
所以 cosA≥√(1/2),cosB>-cosC,
(2cosA)^(2n+1)≥(√2)^(2n+1)>3,n≥2,n∈N
(2cosB)^(2n+1)>(-2cosC)^(2n+1).
所以当n≥2,n∈N时,
(2cosA)^(2n+1)+(2cosB)^(2n+1)+(2cosC)^(2n+1)>3.
即(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)>3/2^(2n+1).
综上,不等式(1)成立,证毕.