已知f(x)在定义域(0,+无穷)上,且满足f(xy)=f(x)+f(y) 且0小于X小于1时 f(x)小于0 判断其单调性 谢谢大家了已知f(x)在定义域(0,+无穷)上,且满足f(xy)=f(x)+f(y) 且0小于X小于1时 f(x)小于0 判断其单调性 谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 04:35:44
已知f(x)在定义域(0,+无穷)上,且满足f(xy)=f(x)+f(y) 且0小于X小于1时 f(x)小于0 判断其单调性 谢谢大家了已知f(x)在定义域(0,+无穷)上,且满足f(xy)=f(x)+f(y) 且0小于X小于1时 f(x)小于0 判断其单调性 谢
已知f(x)在定义域(0,+无穷)上,且满足f(xy)=f(x)+f(y) 且0小于X小于1时 f(x)小于0 判断其单调性 谢谢大家了
已知f(x)在定义域(0,+无穷)上,且满足f(xy)=f(x)+f(y) 且0小于X小于1时 f(x)小于0 判断其单调性 谢谢大家了!
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此题关键是找到适合判断f(x1)-f(x2)为正负或者f(x1)/f(x2)为大于1或者小于1的隐藏条件的（x1与x2不等）,显然因为本身函数有正负的,所以选择判断f(x1)-f(x2)为正负为最佳,下面就来判断其符号（想办法把中间的负号转化为加号以利于用到题设条件）：
由f(xy)=f(x)+f(y)得到
f(1)=f(1)+f(1) 得f(1)=0
则f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0 即f(1/x)=-f(x)
令y>x>0 那么0
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1，得：
f(1*1)=f(1)+f(1)
即：
f(1)=0
令y=1/x时：
f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)
即：
f(1)=f(x)+f(1/x)
0=f(x)+f(1/x)
现在假设x<1，那么(1/x)>1
因为0
全部展开
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1，得：
f(1*1)=f(1)+f(1)
即：
f(1)=0
令y=1/x时：
f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)
即：
f(1)=f(x)+f(1/x)
0=f(x)+f(1/x)
现在假设x<1，那么(1/x)>1
因为0
必然有：f(1/x)>0
所以得出结论：
当0
当x>1时，f(x)>0
所以f(x)在(0，+∞)上是严格递增函数。
收起
f(xy)=f(x)+f(y)
那么f(1)=f(1)+f(1) 得f(1)=0
则f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0 即f(1/x)=-f(x)
令y>x>0 那么0