7种函数极限的直接定义和分析定义 急用啊

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7种函数极限的直接定义和分析定义 急用啊
亲,你是天府学院的吧,程远顺教的吧,还是组长吧,可怜的娃啊,加油吧!

不会 为什么你不去问问同学啊 你上课没认真听吗？

一、函数极限的定义和基本性质
函数极限可以分成x→ ，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以 的极限为例， 在点 以 极限的定义是： 使当 时，有 问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。

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一、函数极限的定义和基本性质
函数极限可以分成x→ ，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以 的极限为例， 在点 以 极限的定义是： 使当 时，有 问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。
函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若 存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明 在 处的极限不存在。即如果 ， （ ），则 在 处的极限不存在。
运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式 （ 均为多项式， ）。二、运用函数极限的判别定理
最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 与 ，并且要满足 ，从而证明或求得函数 的极限值。
三、应用等价无穷小代换求极限
掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。
时， 与 （ ）等等可以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积因子，而对于加减法运算则不能运用。例如 ，不能直接把 替换成 ，得出极限值为0，实际上 。
四、运用洛必达法则求函数极限
设函数 ， 在点 的某空心邻域可导，且 。当 时， （ 为常数或 ）， 和 的极限同时为0或 时才适用洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数问题。这使得求解思路简单程序化。而对于 等类型则需要对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为 型，再使用洛必达法则求极限。例如 的极限转化为求 的极限等等。然而，对于数列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例3。
五、泰勒公式的运用
对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如 ， ， ， 等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量 最高次项保持一致。如 利用泰勒公式展开 ，展开到 即可(原式 最高次项为 )。
六、利用微分中值定理来求极限
上连续，在 上可导，则至少存在一点 ，使 即可看成特殊的极限，用 来求解。一般需要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。参见附例4。
另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如 ， ， ， 等等。
求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得，求极限的方法还有很多。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，敬请批评指正。
南开大学张阳和张效成老师的课堂教学给了笔者很大的启发，在此向两位老师表示感谢。
附：例1：对任意给定的 ，总存在正整数 ,使得当 时，恒有 ，是数列 收敛于 的（ ）。
A 充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件
解析：这道题是1999年全国考研试卷(二)的数学选择题，这道题直接考察了对极限定义的掌握和理解。
例2：若 ， （ ）， ， ，试证明数列 有相同的极限。（见习题册[1] Page.18）
解析：由已知条件易知， ，数列 ， 单调有界，可以推出 ， 收敛。 。设 ， ，则 。
例3：求 的值。（见课本[2] Page.153）
解析：这是数列。设 ，则对 可以运用洛必达法则，且原式= 。
例4：求
解析：如例题3，设 ，则在 上 连续，在 内可导。于是， （使用微分中值定理可得）。 。
[1] 文中习题册是指南开大学薛运华，赵志勇主编的《高等数学习题课讲义（上册）》，为学生用数学练习册。
[2] 文中课本是指笔者使用的天津大学出版社05年7月版的《经济类数学分析（上册）》张效成主编

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