过点P(4,1)作直线L交抛物线y^2=6x于A,B两点,如果P点是线段AB的中点,求直线L方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 17:21:41
过点P(4,1)作直线L交抛物线y^2=6x于A,B两点,如果P点是线段AB的中点,求直线L方程
过点P(4,1)作直线L交抛物线y^2=6x于A,B两点,如果P点是线段AB的中点,求直线L方程
过点P(4,1)作直线L交抛物线y^2=6x于A,B两点,如果P点是线段AB的中点,求直线L方程
设直线的方程是：x+Ay+B=0,直线过点(4,1)
4+A+B=0,B=-4-A,将x=-Ay+4+A代入抛物线的方程得
y²=6(-Ay+4+A)
y²+6Ay-6(4+A)=0
设其两个根为y1,y2
y1+y2=-6A
因为P(4,1)是直线的中点,所以有y1+y2=2×1=2
-6A=2,A=-1/3
B=-11/3
直线方程为：x+(-1/3)y+(-11/3)=0
化简为：3x-y-11=0
设A（X1，Y1），B（X2，Y2），AB中点P（4，1）
则有：x1+x2=8,y1+y2=2
y1^2=6x1
y2^2=6x2
y1^2-y2^2=6(x1-x2)
(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)
那么直线的斜率是：k=(y1-y2)/(x1-x2)=6/(y1+y2)=3
所以方程是：y-1=3(x-4)
即：y=3x-11
设A（X1，Y1）,B(X2,Y2)由中点公式得
（X1+X2）=2*4=8
（Y1+Y2）=2*1=2
因为A、B在抛物线上，则有
Y1^2=6X1
Y2^2=6X2
两式相减得
Y1^2-Y2^2=6(X1-X2)
得
6/(Y1+Y2)=(Y1-Y2)/(X1-X2)=kAB
得kL=2=3
故所求的L方程为
3（x-4）=y-1
即y=3x-11
设 a为（x1，y1）b为（x2，y2） x1+x2=8 y1+y2=2 x2=8-x1 y2=2-y1 带入抛物线方程
y2^2=6x2
（2-y1）^2=6（8-x1）
y1^2-4y1+4=6(8-x1)
因为 y1^2=6x1
所以y1^2-4y1+4=48-y1^2
2y1^2-4y1-44=0
得出ab点坐标带入直线方程即可