三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所成的角.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/24 09:28:50

三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所成的角.三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所

三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所成的角.
三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所成的角.

三棱锥A-BCD中,E,F分别为AC,BD中点,若AB=2,CD=4,AB⊥EF,求EF与CD所成的角.
取AD中点M,BC中点N,连结ME、MF、EN、FN,
MF是三角形ABD中位线,
MF//AB,且MF=AB/2=1,
EF⊥AB,
EF⊥MF,
同理,ME//CD,ME=CD/2=2,
三角形EFM是直角三角形,根据勾股定理,
EF=√（ME^2-MF^2)=√3,
同理EN=AB/2=1,
FN=CD/2=2,
在三角形EFN中,根据余弦定理,
cos<EFN=(EF^2+FN^2-EN^2)/(2*EF*FN)=√3/2,
<EFN=30度,
而FN//CD,
故<NFE就是EF和CD所成角,
故EF和CD所成角为30 度,
实际上,EF^2+EN^2=4,FN^2=4,
三角形EFN是直角三角形,
〈FEN=90度,
EN=FN/2
∴〈EFN=30度.

45°

设G为AD中点，连结GE、GF，则GE//CD,GF//AB。所以GF⊥EF。又因为GF=1/2AB=1,GE=1/2CD=2,则在直角三角形GEF中，EF=根号3。∠GEF=30°.因为EF与GE所成的角和EF与CD所成的角相等，所以结果为30°。

取AD的中点G，连接FG、EG
CD=4，AB=2
则FG//AB且FG=AB/2=1
EF垂直AB，所以EF⊥FG，即△GFE是直角三角形
GE//CD且GE=CD/2=2
∠EGF即为EF与CD所成的角
sin∠EGF=FG/GE= 1/2
即∠EGF=30度
即EF与CD所成的角为30度