函数题,有一点难度...已知定义在（0,﹢∞）上的函数f（x）为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 19:52:40
函数题,有一点难度...已知定义在（0,﹢∞）上的函数f（x）为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
函数题,有一点难度...
已知定义在（0,﹢∞）上的函数f（x）为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
函数题,有一点难度...已知定义在（0,﹢∞）上的函数f（x）为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
设f(1)=a
令x=1时 f(1)f[f(1)+1]=1 即f(a+1)=1/a
令x=a+1时 f（a+1）f[f(a+1) +1/(a+1)]=1 即f[f(a+1) +1/(a+1)]=a=f(1)
又因为 f(x)在定义域单调
所以 f(a+1) +1/(a+1)=1
1/a +1/(a+1)=1
a=（1+根号5）/2 或 a=（1-根号5）/2
这一过程两个a都成立
f(x)*f[f(x)+1/x]=1，当x=1时，f(1)*f[f(1)+1]=1 (1)
当x=f(1)+1时，f[f(1)+1]*f[ f[f(1)+1] +1/[f(1)+1] ]=1
所以 f(1) = f[ f[f(1)+1] + 1/[f(1)+1] ]<...
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f(x)*f[f(x)+1/x]=1，当x=1时，f(1)*f[f(1)+1]=1 (1)
当x=f(1)+1时，f[f(1)+1]*f[ f[f(1)+1] +1/[f(1)+1] ]=1
所以 f(1) = f[ f[f(1)+1] + 1/[f(1)+1] ]
因为函数f（x）为定义在（0，﹢∞）上的单调函数，所以一个函数值对应唯一一个自变量值。
所以 1 = f[f(1)+1] + 1/[f(1)+1]
所以f[f(1)+1]= 1-1/[f(1)+1] (2)
把(2) 结果代入(1)式中，
1
f(1) * （ 1 - ———— )＝1
f(1)+1
整理得，f(1) * f(1) ＝f(1)+1
f(1) * f(1) - f(1) - 1＝0
解得 f(1)有两值， 1+根号5 1-根号5
f(1)＝———— 或 f(1)＝———— 关于取舍问题还要再讨论一下。
2 2
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