设实数a使得关于x的一元二次方程5x^2—5ax+66a-1715=0的两跟均是整数,则这样的a是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/30 15:05:46
设实数a使得关于x的一元二次方程5x^2—5ax+66a-1715=0的两跟均是整数,则这样的a是
设实数a使得关于x的一元二次方程5x^2—5ax+66a-1715=0的两跟均是整数,则这样的a是
设实数a使得关于x的一元二次方程5x^2—5ax+66a-1715=0的两跟均是整数,则这样的a是
原式可简化为 x^2—ax+66a/5-343=0
上式要有2根,故有△=a^2-4*(66a/5-343)≥0
a^2-264a/5+1372≥0
(a-26.4)^2≥-1372+696.96恒成立
可解得： x1=[(66a*4/5-4*343)+a^2]/4
x2=[(66a*4/5-4*343)-a^2]/4
x1和x2均为整数,所以x1+x2=66a/5-686为整数
所以a应该是5的倍数
x1+x2=a是整数，说明a是整数；x1*x2=66a/5-343是整数，说明5是a的因数。设a=5n，
代入原方程，得x^2-5nx+66n-343=0。
根据方程有根，求出n的取值。
－－
应该是这样吧66
△=25a²-20（66a-1715）
由于求根过程中△需要开方，所以△必须是某个整数的平方（否则根不是整数），设
△=25a²-20（66a-1715）=m²，m是整数
配方变形得到：（5a-132）²+16876=m²
平方差：16876=m²-（5a-132）²=（m-5a+132）*（m+...
全部展开
△=25a²-20（66a-1715）
由于求根过程中△需要开方，所以△必须是某个整数的平方（否则根不是整数），设
△=25a²-20（66a-1715）=m²，m是整数
配方变形得到：（5a-132）²+16876=m²
平方差：16876=m²-（5a-132）²=（m-5a+132）*（m+5a-132）
由于两根之和是a，a是整数，所以m-5a+132 m+5a-132 均为整数
所以问题变为把16876拆成两个整数的乘积
与此同时 （m-5a+132）-（ m+5a-132）=264-10a为偶数
说明（m-5a+132）与（ m+5a-132）奇偶性相同（否则相减必为奇数）
故（m-5a+132）与（ m+5a-132）均为偶数
将16876分解质因数 16876=2×2×4219 4219为质数 不能拆
所以把16876拆成两个偶数乘积只可能有如下4种情况
m-5a+132=2且m+5a-132=8438；
m-5a+132=8438且m+5a-132=2；
m-5a+132=-2且m+5a-132=-8438；
m-5a+132=-8438且m+5a-132=-2；
解上述方程组，在a为整数的前提下，只能得到a=870
此时方程的根 x1=857，x2=13
这应该是初三数学竞赛题，最后一道大题常出这种类型的，就按这个方法做
加油
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