数列与对数函数已知数列{An}满足：A1=2,A(n+1)=An+ln(1+1/n)(n∈N*),则数列{An}的通项公式是?注：题目中所有A后小写字母均为下标.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/27 05:24:19

数列与对数函数已知数列{An}满足：A1=2,A(n+1)=An+ln(1+1/n)(n∈N*),则数列{An}的通项公式是?注：题目中所有A后小写字母均为下标.数列与对数函数已知数列{An}满足：A

数列与对数函数已知数列{An}满足：A1=2,A(n+1)=An+ln(1+1/n)(n∈N*),则数列{An}的通项公式是?注：题目中所有A后小写字母均为下标.
数列与对数函数
已知数列{An}满足：A1=2,A(n+1)=An+ln(1+1/n)(n∈N*),则数列{An}的通项公式是?
注：题目中所有A后小写字母均为下标.

数列与对数函数已知数列{An}满足：A1=2,A(n+1)=An+ln(1+1/n)(n∈N*),则数列{An}的通项公式是?注：题目中所有A后小写字母均为下标.
∵a(n+1)=an+ln(1+1/n)= an+ln[(n+1)/n]
∴a2=a1+ln(2/1)
a3=a2+ln(3/2)
a4=a3+ln(4/3)
……………………
an=a(n-1) +ln[n/(n-1)]
∴所有等式两边叠加得
an= a1+ln(2/1)+ ln(3/2)+ ln(4/3)+……+ ln[n/(n-1)]
= a1+ln[(2/1)×(3/2) ×(4/3) ×……×n/(n-1) ]
= a1+ln n
=2+ln n

{An}的通项公式是:ln(n)+2.
∵A(n+1)=An+ln(1+1/n)(n∈N*),
A(n+1)-An=ln[(n+1)/n]=ln(n+1)-ln(n).
有,A2-A1=ln2-ln1,
A3-A2=ln3-ln2,
A4-A3=ln4-ln3,
..............
A(n)-A(n-1)=ln(n)-ln(n-1).
两边同时相加,可得
A(n)-A1=ln(n)-ln1,
A(n)=ln(n)+2.