一道高中函数题,有一定难度设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?一楼的解答不正确
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 06:27:16
一道高中函数题,有一定难度设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?一楼的解答不正确
一道高中函数题,有一定难度
设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?
一楼的解答不正确
一道高中函数题,有一定难度设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?一楼的解答不正确
设h(x)＝p*x^2＋q*x＋r,只需求r
θ^3－3θ＋10＝0（注θ是三次方程的根,所以θ有三个解）,
α＝（θ^2＋θ－2）/2
代入h(α)=θ,得
p*((θ^2＋θ－2)/2)^2＋q*((θ^2＋θ－2)/2)＋r＝θ
整理之,凡θ的次数超过2次的都用 θ^3＝3θ－10 代 把上面的等式中θ的次数降到2次,
q*θ^2＋（6p＋q－2）*θ＋12p－2q＋2r＝0,
因为p,q,r是有理数,θ的次数最高为2次,所以最多有两个根,但现在有3个θ满足上式,所以上式应为恒等式,每个系数都为0,
所以 q=0 ,p=-1/2,r=-2
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其实,根据楼上所说,α与θ的关系可以化简为 α×（θ－1）＝－4,得到
θ＝－4/α＋1
代入 p*α^2＋q*α＋r＝θ,θ^3－3θ＋10＝0
分别得到两个关于α的一元三次方程,
p*α^3＋q*α^2＋(r-1)*α＋4＝0
8*α^3＋48*α－64＝0
因为有三个α都满足这两个方程,所以这两个方程对应系数成比例,也能得到
q=0 ,p=-1/2,r=-2
h(a) = t
h[(t²+t-2)/2 ] = t
当(t²+t-2)/2 =0 时，(t+2)(t-1)=0
t =1或t=-2
所以，
(1)当t=1时，a = (t²+t-2)/2 =0
h(a)=h(0) =t =1
(2)当t=-2时，a = (t²+t-2)/2 =0
全部展开
h(a) = t
h[(t²+t-2)/2 ] = t
当(t²+t-2)/2 =0 时，(t+2)(t-1)=0
t =1或t=-2
所以，
(1)当t=1时，a = (t²+t-2)/2 =0
h(a)=h(0) =t =1
(2)当t=-2时，a = (t²+t-2)/2 =0
h(a)=h(0) =t = -2
这个题好像和“t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根”无关。我觉得题目有点问题
补充：我上面的东西没有错。
答案是-2，那就是我的（2）里的答案。这时t=-2,a=0. 可是“t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根”，你把t=-2带入这个方程，你看看f(t)是否等于0？算得的结果是： f(t)=f(-2)=-8+6+10=8显然-2也不是方程的根，那当然也是错误的。
按我的理解，如果第一句话改为“t是二次多项式f(x)=x^2-3x+10的一个根”可以算出（x-5）(x+2)=0，所以t=5或者t=-2
结合我上面的解法：（1）t=1不符合条件，舍弃
（2）t=-2符合条件， h(a)=f(0)=-2
收起