如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；（2）当点P运

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/24 21:44:12

如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；

如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；（2）当点P运
如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O,P,D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定的顶点,当点P运动到何处,三角形PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和三角形PDE的周长

如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,点D是OA的中点；设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处,PC与PD总相等；（2）当点P运
（1）∵点D是OA的中点,
∴OD=2,
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分线,
∴∠POC=∠POD=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD．
（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求．
易知点F的坐标为（2,2）,故BF=2,作PM⊥BF,
∵△PBF是等腰直角三角形,
∴PM=1 2 BF=1,
∴点P的坐标为（3,3）．
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
又∵抛物线经过点P（3,3）和点D（2,0）,
∴有 9a+3b=3 4a+2b=0
解得 a=1 b=-2
∴抛物线的解析式为y=x2-2x；
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC,它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC,而两点之间线段最短）,此时△PED的周长最小．
∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1,-1）,C点的坐标（0,2）,
设CE所在直线的解析式为y=kx+b,
则有 k+b=-1 b=2   ,
解得 k=-3 b=2   ．
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2．
点P满足 y=-3x+2 y=x   ,
解得 x=1 2  y=1 2    ,
故点P的坐标为(1 2 ,1 2 )．
△PED的周长即是CE+DE= 10 + 2 ；

全部展开

（1）∵点D是OA的中点，
∴OD=OC，
又∵OP是∠COD的角平分线，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，故PC=PD；
（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求，
易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=12BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）
由于抛物线经过原点，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）
∴9a+3b=34a+2b=0，
解得a=1b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x．
（3）假设存在符合条件的P点．
矩形的对称中心为对角线的交点，故N（2，1）．
①当P点在N点上方时；由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，显然F点符合P点的要求，
故P（2，2）
②当P点在N点下方时；设P（a，a），则：
∵C（0，2），N（2，1）
由勾股定理得，CP2+PN2=CN2，即a2+（a-2）2+（2-a）2+（1-a）2=5，即4a2-10a+4=0
解得a=12或a=2，
故P（12，12）
综上可知：存在点P，使∠CPN=90°，其坐标为（12，12）或（2，2）．

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