数列{an}中,前几项和Sn=2^n-1,求证:an是等比数列.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 17:49:33
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数列{an}中,前几项和Sn=2^n-1,求证:an是等比数列.
数列{an}中,前几项和Sn=2^n-1,求证:an是等比数列.

数列{an}中,前几项和Sn=2^n-1,求证:an是等比数列.
证:
n=1时,a1=S1=2-1=1
n≥2时,Sn=2ⁿ-1,S(n-1)=2^(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2ⁿ-1-2^(n-1)+1=2^(n-1)
n=1时,a1=2^(1-1)=2^0=1,同样满足通项公式.
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
a(n+1)/an=2ⁿ/2^(n-1)=2,为定值.
数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.

Sn-1=2^(n-1) - 1
an=Sn-Sn-1=2^n - 1 - [2^(n-1) - 1]=2*2^(n-1) - 1 - [2^(n-1) - 1]=2^(n-1)
a1=s1=2^1 - 1 =1
an=2^(n-1)=a1*2^(n-1)
所以an是首项为1,公比为2的等比数列

Sn=2^n-1,
an=Sn-S(n-1)
=2^n-1-2^(n-1)+1,
=2^n-2^(n-1)
=2^n-1/2*2^n
=1/2*2^n
=2^(n-1)
an=2^(n-1)
a1=S1=2-1=1
a2=2^(2-1)=2
a3=2^(3-1)=2^2
a4=2^(4-1)=2^3
a2/a1=a3/a2=a4/a3=2
an是首项为1,公比为2,的等比数列