直线过D（-1,0）且与抛物线y^2=4x交与A,B两点,是否x轴上存在一点E,使得三角形ABE为等边三角形.若有求E
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 16:35:24
直线过D（-1,0）且与抛物线y^2=4x交与A,B两点,是否x轴上存在一点E,使得三角形ABE为等边三角形.若有求E
直线过D（-1,0）且与抛物线y^2=4x交与A,B两点,是否x轴上存在一点E,使得三角形ABE为等边三角形.若有求E
直线过D（-1,0）且与抛物线y^2=4x交与A,B两点,是否x轴上存在一点E,使得三角形ABE为等边三角形.若有求E
证明如下：
由已知：设过点D（-1,0）的直线方程为：y＝k(x＋1) 联立y＝k(x＋1) 和y²＝4x 消去“x”得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0 由已知Δ＝4（k²－2)²－4(k²)²＝－2(2k²－2)>0
∴k²＜1 且k不为0,
另设A(x1,y1) B(x2,y2) AB中点为N(x′,y′) 设E(m,0)
由韦达定理：x1+x2=(4-2k²)/k² ,x1x2=1；且y1+y2=4/k ,y1y2=4
∴N(2/k²-1,2/k) 则线段AB的中垂线NE交x由于E,∴直线NE斜率K′=－1/k
∴m=1＋2/k²
|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1+x2)²+(y1+y2)²-4x1x2-4y1y2=16/(k²)²-16
|NE|²=4+4/k²
在正三角形中高为边的√3/2,即有：3|AB|²/4=|NE|²
得48(1/(k^4-1)=16(1+1/k²)==>3/k^4-1/k²+4=0
分解得(3/k²-4)(1/k²-1)=0
得k²=3/4 或k²=1(舍去)
即m=1+2/k²=11/3,故满足条件的点E(11/3,0).
x轴上存在一点E 证明如下：
由已知：设过点D（-1,0）的直线方程为：y＝k(x＋1) 联立y＝k(x＋1) 和y²＝4x 消去“x”得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0 由已知Δ＝4（k²－2)²－4(k²)²＝－2(2k²－2)>0 ∴k²＜1 另设A(x1,y1) B(...
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x轴上存在一点E 证明如下：
由已知：设过点D（-1,0）的直线方程为：y＝k(x＋1) 联立y＝k(x＋1) 和y²＝4x 消去“x”得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0 由已知Δ＝4（k²－2)²－4(k²)²＝－2(2k²－2)>0 ∴k²＜1 另设A(x1,y1) B(x2,y2) AB中点为N(x′,y′) E(m,0)
由韦达定理：x1+x2=(4-2k²)/k² , x1x2=1;且y1+y2=4/k² ∴N((2-k²)/k²,2/k²) 则直线AB垂直直线NE且直线NE平分直线AB，∴直线NE斜率K′=－1/k ∴m=1＋2/k²
|AB|=4﹙﹙1－kˆ4﹚/kˆ4)½ ,|NE|=2(1+1/k²)½ 由题知：∠ABE=60º∴,|NE|/|AB|=tan60º=√3 ∴k²=3/4 ,m=7/3 即E(7/3,0)鐧惧害鍦板浘
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