正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a（1）求三棱锥A-A1BD的表面积和体积（2）求三棱锥B-A1C1D的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 08:30:35
正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a（1）求三棱锥A-A1BD的表面积和体积（2）求三棱锥B-A1C1D的体积
正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a
（1）求三棱锥A-A1BD的表面积和体积
（2）求三棱锥B-A1C1D的体积
正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a（1）求三棱锥A-A1BD的表面积和体积（2）求三棱锥B-A1C1D的体积
(1)
把顶点转换一下,就变成一个底面和高都很容易计算的四面体了
V(A-A1BD)=V(A1-ABD)=(1/3)*S△ABD*AA1=(1/3)*(1/2)*a^2*a=(1/6)*a^3
表面积就是4个面的面积加起来,其中△ABD,△ADA1,△ABA1的面积都很显然是正方形的一半,即(1/2)a^2.
而△BDA1的三条边都是正方形的斜边,所以他是边长为(根号2)a的等边三角形,所以他的面积等于(根号3)*(a^2)/2
所以表面积：(3+根号3)(a^2)/2
(2)
把整个正方体的体积减去四边四个四面体的体积后,就是要求的四面体的体积了：
V(B-A1C1D)=V(正方体)-V(A-A1DB)-V(B1-A1C1B)-V(C-BDC1)-V(D1-A1C1D)
额.这个结论画个图就知道了,不过还是需要一点空间想象能力的
而且注意,我写的时候把四面体的顶点和底面分开了,那4个底面分别就是要求体积的四面体的四个面,也就是说正方体被分割成5块,4周的4个,以及我们要求体积的那个.
然后,这4周的4个四面体都是一样的,他们都是占据了正方体的一个角,这个已经不太好描述了.总之仔细看,他们都是和第一问中计算过的A-A1BD一样的四面体,所以他们的体积都是(1/6)*a^3,加起来就是(2/3)*a^3,而正方体自己的体积是a^3,所以减一下就是要求的了：(1/3)*a^3